Курс «Классическая дифференциальная геометрия» читается студентам механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова на втором курсе в 4 семестре.

В рамках курса рассмотрены кривые в евклидовом пространстве, а также поверхности - их первая и вторая фундаментальные формы. Даны элементы дифференциального исчисления на поверхности, геодезические на поверхностях и криволинейные координаты в области и на поверхности. Освещены риманова и псевдориманова метрики, геометрия Лобачевского, топологические пространства, многообразия.

Изложены касательное пространство к многообразию, дифференциал, вложения многообразий в евклидово пространство, дополнительные структуры (риманова метрика, ориентируемость), а также классификация связных компактных двумерных многообразий.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в дифференциальную геометрию.
Что такое дифференциальная геометрия и чем она занимается Определения кривых с точки зрения разных разделов математики Регулярные кривые: формальные определения Утверждение об эквивалентности различных параметризаций кривой и его применение Краткий обзор курса Рекомендованный список литературы, отступление про применение дифференциальной геометрии в физике Выбор координаты кривой как регулярного параметра Способы задания кривой в действительном векторном пространстве в дифференциальной геометрии и значение понятия регулярности Теорема о локальной эквивалентности определений регулярной элементарной кривой Примеры, иллюстрирующие значение регулярности в условии теоремы

Лекция 2. Основные понятия, связанные с кривыми в дифференциальной геометрии.
Регулярные, k-гладкие и k-дифференцируемые отображения (напоминание) Теорема о локальной эквивалентности определений регулярной кривой (напоминание) и примеры к ней Следствие теоремы о локальной эквивалентности Касательная прямая к регулярной кривой Утверждение (о том, что расстояние от точек кривой до касательной имеет второй порядок малости) Натуральная параметризация кривой Утверждение о параметризации с постоянным вектором скорости Кривизна кривой в действительном векторном пространстве Соприкосновение кривых в действительном векторном пространстве Утверждение об участке кривой, кривизна которого равна нулю Бирегулярная кривая Его ортогональность вектору скорости Соприкасающаяся плоскость к кривой в действительном векторном пространстве Построение соприкасающейся окружности

Лекция 3. Плоские кривые.
Напоминание определений с предыдущей лекции, используемых в теореме о соприкасающейся окружности Теорема о соприкасающейся окружности: доказательство, комментарии Два смысла понятия кривизны кривой: кривизна соприкасающейся окружности и длина вектора ускорения Формула кривизны кривой в действительном векторном пространстве для произвольной параметризации Плоские кривые: кривизна со знаком, коориентация Уравнения Френе и репер Френе для плоских кривых Ортонормированный базис на кривой в действительном векторном пространстве Теорема о восстановлении кривой по ее кривизне: значение и формулировка Доказательство единственности (плоские кривые с одинаковой кривизной совмещаются движением плоскости) Доказательство существования (существует кривая с данной кривизной) Натуральное уравнение кривой (явная формула восстановления плоской кривой по ее кривизне)

Лекция 4. Эволюта, эвольвента; пространственные кривые.
Напоминание определений и формулы натурального уравнения кривой с прошлой лекции Глобальный смысл кривизны кривой: связь кривизны плоской замкнутой кривой и ее коэффициента вращения Эволюта: определение Теорема об эволюте: формулировка и доказательство Эвольвента: определение Утверждение об эвольвенте: формулировка и доказательство Анонс тем, которые будут рассматриваться на второй половине лекции; дополнительные комментарии Кривые в трехмерном пространстве: бинормаль, репер Френе, уравнения Френе, кручение пространственных кривых Утверждение о кручении плоской кривой в пространстве Геометрический смысл кручения Вектор Дарбу Локальные проекции кривой на плоскости трехгранника Френе Анонс тем, которые будут рассмотрены на следующей лекции

Лекция 5. Кривые в пространстве произвольной размерности.
Вычислительные формулы для кручения Теорема о восстановлении пространственной кривой по ее кривизне и кручению: формулировка Доказательство теоремы: вспомогательные наблюдения, единственность Доказательство теоремы: существование Теорема (критерий сохранения ортогональности матрицы, гладко зависящей от параметра) Покомпонентная (матричная) запись уравнений Френе Базис Френе и уравнения Френе для кривой в действительном векторном пространстве Теорема о восстановлении кривой в действительном векторном пространстве по ее кривизне и кручению: формулировка Теорема о восстановлении кривой в действительном векторном пространстве по ее кривизне и кручению: идеи доказательства

Лекция 6. Криволинейные системы координат.
Теорема Гаусса (формулировка) Криволинейные системы координат в действительном векторном пространстве: введение, примеры Регулярная система координат (определение) Локальная система координат (определение) Применение определений к полярным, сферическим, цилиндрическим, евклидовым координатам Координатные поверхности Замена координат Матрица Грама как частный случай задания римановой метрики Отличие от римановой метрики и примеры Деривационные уравнения для криволинейной системы координат Символы Кристоффеля О классе римановых метрик, которые задают криволинейные системы координат

Лекция 7. Криволинейные системы координат (продолжение).
Криволинейные системы координат, уравнения перехода, римановы метрики (напоминание) Теорема Дарбу о совместных системах (формулировка) Применение теоремы к вопросу о римановых метриках, задающих криволинейные системы координат Условие существование криволинейной системы координат для заданной римановой метрики Утверждение о сохранении регулярности кривой при регулярной замене системы координат Определение Координатные линии на k-мерной поверхности Теорема о связи с векторами скоростей кривых на поверхности Первая квадратичная форма поверхности Различные способы задания k-мерной поверхности Теорема об эквивалентности этих способов

Лекция 8. Подмногообразия.
Определения, которые понадобятся в дальнейшем; задание подмногообразия системой уравнений (напоминания) Нормальное пространство; разложение R^n в прямую сумму нормального и касательного пространств Элемент объема на подмногообразии Разложения Гаусса и Вейнгартена Вторая квадратичная форма поверхности Фундаментальные характеристики подмногообразия (краткая сводка) Связь коэффициентов деривационных уравнений и фундаментальных характеристик Фундаментальные уравнения теории подмногообразий: уравнения Гаусса Фундаментальные уравнения теории подмногообразий: уравнения Кодацци

Лекция 9. Двумерные поверхности в трехмерном пространстве.
Двумерные поверхности в трехмерном пространстве: матрицы первой и второй квадратичных форм Разложения Гаусса и Вейнгартена; уравнения Гаусса-Кодацци для двумерных поверхностей в трехмерном пространстве Теорема Дарбу о совместных системах: общая формулировка Следствиe: лемма Пуанкаре Следствие: применение к вопросу о векторных полях на многообразии Теорема Дарбу для двумерного пространства: формулировка, комментарии Теорема Дарбу для двумерного пространства: доказательство Теорема Бонне для двумерных поверхностей в трехмерном пространстве: формулировка, комментарии Теорема Бонне для двумерных поверхностей в трехмерном пространстве: доказательство единственности Теорема Бонне для двумерных поверхностей в трехмерном пространстве: доказательство существования

Лекция 10. Двумерные поверхности в трехмерном пространстве (продолжение).
Теорема Бонне - повторение основных моментов с предыдущей лекции и окончание доказательства Уравнения нулевой кривизны Кривые на поверхностях в трехмерном пространстве: формулы для длин кривых Условие того, что две поверхности пересекаются по регулярной кривой Формулы для кривизны нормального сечения

Лекция 11. Кривизны поверхностей.
Определения, которые были введены на прошлой лекции и понадобятся в дальнейшем (напоминания) (определения) Комментарии, примеры Теорема Менье: формулировка, комментарии Примеры к теореме Менье Теорема Эйлера Омбилические точки Гауссова кривизна и средняя кривизна - определения Линии кривизны Формулы для вычисления гауссовой кривизны

Лекция 12. Сопряженные направления и геодезические на поверхностях.
Оператор Вайнгартена Формулы Родрига Сопряженные направления в касательном пространстве Сопряженная система координат Линии кривизны на поверхности Сферическое отображение (отображение Гаусса) Соприкасающийся параболоид Индикатриса Дюпена Геодезические на поверхности

Лекция 13. Геодезические и их роль в дифференциальной геометрии.
Геодезические и геодезическая кривизна на регулярных поверхностях в трехмерном пространстве Критерий того, что кривая является геодезической Уравнения Френе (напоминание), их связь с уравнением геодезической Примеры Теорема Клеро Анализ поведения геодезических на примере конуса Уравнение геодезической Теорема о единственности геодезической, касающейся данного направления Уравнения Эйлера-Лагранжа

Лекция 14. Полугеодезические координаты.
Напоминание определений и фактов с предыдущей лекции Свойство геодезической быть локально кратчайшей - комментарии на примере Определение и свойства Вывод теоремы о полугеодезической системе координат Существование полугеодезической системы координат в каждой точке Теорема о свойстве геодезической быть локально кратчайшей Изометрии (и изгибания) Задача о существовании диффеоморфизма поверхностей Дифференциальные параметры Бельтрами; инварианты локальной изометрии Изгибания Теорема об изометрии поверхностей с постоянной гауссовой кривизной

Лекция 15. Поверхности постоянной кривизны. Теорема Гаусса-Бонне.
Теорема о классификации поверхностей постоянной гауссовой кривизны с точностью до изометрии Формула Бибербаха Доказательство теоремы Общий вид метрик поверхностей различной постоянной кривизны и вывод Реализация плоскости Лобачевского Неизгибаемость выпуклой замкнутой поверхности - формулировка результата и комментарии Ковариантная производная векторного поля вдоль кривой Свойства ковариантной производной Ковариантно постоянное (параллельное) поле вдоль кривой Естественные векторные поля вдоль кривой ОДУ параллельного переноса Формулы, выражающие ковариантную производную для некоторых частных случаев Геодезическое кручение для кривых на поверхностях Теорема Гаусса-Бонне - формулировки и простые следствия Теорема Гаусса-Бонне - схема доказательства