Список всех тем лекций

Лекция 1. Классическая дифференциальная геометрия. Введение.
Тема лекции Классическая дифференциальная геометрия Параметрическое описание кривой Производные Первое строгое определение кривой Перепараметризация кривой Ориентация параметризованной кривой Классы эквивалентности параметризованных кривых Обозначения отображений Определение натурального параметра Единственность натурального параметра Определение кривизны кривой в случае натуральной и произвольной параметризации Базис Френе Утверждение о кривизне

Лекция 2. Кривые в трехмерной области.
Обобщение предыдущих тем Формулы Френе для трехмерного случая Замечания к формулам Френе Важность и независимость кривизны и кручения Матрица Грама Натуральное уравнение кривой Случай большой размерности Следствие симметричности

Лекция 3. Поверхности.
Тема лекции Одномерный случай Условие регулярности Переход от неявно заданной поверхности к гладкой регулярной параметризованной поверхности Определение неявно заданной поверхности в R3 Описание гладкой неявно заданной поверхности, как гладкой регулярной параметризованной поверхности Случай сферы Многомерный случай Упражнение Терминология Кривые на поверхности Утверждение об эквивалентности описаний кривых Касательные векторы Касательная плоскость

Лекция 4. Перепараметризация поверхностей.
Тема лекции Перепараметризация поверхностей Утверждение о гладкой регулярной параметризованной поверхности Выбор локальных координат Случай аффинного евклидова пространства Маломерный случай Площадь поверхности Традиционная форма записи первой квадратичной формы с помощью дифференциалов Идея Эйлера Перепараметризация

Лекция 5. Кривизна поверхности.
Тема лекции Нормальное сечение Следствие о кривизне нормального сечения Теорема о приведении пары квадратичных форм к каноническому виду Упражнение Определение средней кривизны и гауссовой кривизны Влияние смены направления поля единичных нормалей Случай K-мерной поверхности (гиперповерхность) Случай нормальной кривизны со знаком (ориентированной нормальной кривизны) Классический случай двумерной поверхности в R3 Формула Эйлера Утверждение о наибольшем и наименьшем направлении Геометрия сферы

Лекция 6. Современный взгляд на классическую дифференциальную геометрию.
Формула Френе Производная функции вдоль вектора Случай поверхности внутри Rn для функций, определенных на поверхности Касательный вектор для определения производной Производная по параметру на кривой Определение гладкой функции на поверхности Выражение функции в разных системах координат Производная функции вдоль вектора в локальных координатах Случай векторного поля Производная векторного поля вдоль вектора Производная векторного поля вдоль векторного поля Коммутатор векторных полей Касательные и нормальные векторные поля Случай произвольного векторного поля Два утверждения о коммутаторе

Лекция 7. Производная функции вдоль касательного векторного поля и производная векторного поля вдоль касательного векторного поля.
Введение обозначений Вторая квадратичная форма Свойства второй квадратичной формы Определение базиса в касательных векторных полях Определение базиса в нормальных векторных полях Ковариантная производная касательного векторного поля Свойства ковариантной производной Явная формула для символов Кристоффеля через метрику

Лекция 8. Символы Кристоффеля.
Явная формула для символов Кристоффеля через метрику Два частных случая упрощения формул Кристоффеля Симметрия символов Кристоффеля Обозначения в дифференциальной геометрии Преобразование символов Кристоффеля при замене локальных координат Связность Связность Леви-Чивиты Оператор Вейнгартена Ковариантная производная от нормального векторного поля вдоль касательного вектора/векторного поля Деривационное уравнение Вейнгартена

Лекция 9. Тензор кривизны Римана.
Тензор кривизны Римана Уравнение Гаусса Теорема Egregium Уравнение Петерсона-Майнарди-Кодацци Теорема Бонне Средняя кривизна Отображение касательных пространств Определения изометрического отображения, изометрии, локальной изометрии

Лекция 10. Параллельный перенос и геодезические.
Параллельный перенос в аффинном пространстве Параллельный перенос на поверхности Уравнение параллельного переноса Построение параллельного переноса Теорема о сохранении длин и углов при параллельном переносе Тензор Римана для измерения разницы параллельных переносов двумя способами в инфинитезимальном параллелограмме Определение геодезической кривой Аффинный натуральный параметр Зависимость геодезической кривизны от аффинного натурального параметра Утверждение об угле между геодезической и параллельным вдоль нее векторным полем Теорема существования и единственности геодезической

Лекция 11. Вариационный подход к геодезическим.
Минимумы функционалов Определения критической точки Определение экстремальной кривой Экстремали функционала энергии Изображения вариаций Функционал длины Прямые и геодезические

Лекция 12. Продолжение обсуждения геодезических и параллельного переноса.
Функционал энергии (к предыдущей лекции) Дифференциальные формы Базис Гладкость формы Внешний дифференциал Особый случай Следствие

Лекция 13. Следствие теоремы 1. лекции.
Замечание Триангуляция Параллельный перенос вокруг одного геодезического треугольника Теорема Гаусса-Бонне Примеры Утверждение о гомеоморфности компактной ориентированной поверхности без края Утверждение о геодезическом двуугольнике

Лекция 14. Экспоненциальное отображение.
Экспоненциальное отображение Теорема о гладкой зависимости решения задачи Коши от начальных данных и от параметров Определение экспоненциального отображения Построение систем координат на поверхности Случай двумерной поверхности

Лекция 15. Минимальные поверхности. Поверхности постоянной (гауссовой) кривизны.
Минимальные поверхности Зависимость первой квадратичной формы от второй Обращение в ноль средней кривизны Теорема о классификации поверхностей постоянной (гауссовой) кривизны

Лекция 16. Теорема о поверхности постоянной гауссовой кривизны.