Курс посвящен быстрому введению в методы вторичного квантования и изложению результатов, представленных в статье [Смолянов О. Г., Шамаров Н. Н. Квантование по Шрёдингеру бесконечномерных гамильтоновых систем с неквадратичной функцией Гамильтона // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. — 2020. — Т. 492, № 1. — С. 65–69.] и опирающихся на недавно открытые автором унитарные преобразования Фурье (обобщенных) функций бесконечномерного аргумента.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Знакомство с бесконечной размерностью.
Введение в курс Логические символы Переменные для высказываний Два подхода с аксиомами и выводами Описание множества Вывод через исходный язык Аксиома равенства Аксиома множества-степени Ввод обозначения Бесконечные множества Аксиома регулярности Пересечение множеств Представление натуральных чисел Аксиома бесконечности Разрешительные аксиомы Определение упорядоченных пар через неупорядоченные множества График функции Аксиомы сложения и вычитания Операция умножения График операций сложения Рациональные числа Вещественные числа Комплексные числа Задача

Лекция 2. Бесконечномерные пространства.
Повторение предыдущей лекции Количество элементов в множестве Отношение свойства двух переменных Определение множества конечных элементов Инъективность и сюръективность Сравнение мощностей Точная область определений и значений Отношение между элементами Литературные источники Теоретико-множественные отношения Отношение "быть подмножеством" Определение свойства антисимметричности Определение свойства строгой антисимметричности Диагональные пары Свойство рефлексивности Свойство транзитивности Частичный порядок Изоморфизм частичных порядков Точное представление Пример частичного порядка Пример точного представления Частично упорядоченное множество Линейный частичный порядок Полный порядок Обобщенный левый луч Теорема из книги

Лекция 3. Мощность множества. Кардинальные числа.
Повторение предыдущей лекции Ординал (определение) Аксиома вполне упорядочивания Канонические ординалы Конструкция класса вполне упорядоченных канонических ординалов Рассмотрение двух случаев Сопоставление множеству объединения всех ординалов Обратная аксиома Понятие мощности Обозначение канонических ординалов и кардиналов Рассмотрение случаев канонических ординалов и кардиналов Континуум-гипотеза Направленные множества Определения База (базис) фильтра Правый луч Теорема о сравнении мощности множеств

Лекция 4. Алгебраические структуры.
Алгебраические структуры Полугруппы Свойство отображения Свойство нейтральности Определение двухстороннего нейтрального элемента Замечание Идемпотентность   Гомоморфизм Замечание (теорема) Инъективность Группы Теорема о представлении произвольной группы Замечание Свойство коммутативности элементов Гомоморфизм и эндоморфизм Определение подполугруппы Подмоноид Операции тождественного отображения и точечного сложения Биаддитивность Определение кольца

Лекция 5. Линейное пространство.
Повторение предыдущей лекции Факты о кольце Определения унитального, ассоциативного и коммутативного кольца Замечание Определение модуля Определение поля Определение линейного пространства Изоморфность групп вещественных и комплексных чисел Понятие линейной независимости Понятие линейной зависимости Определение индексированного множества элементов Определение линейной зависимости индексированного множества Замечание Понятие базиса Замечание 1 Замечание 2 Замечание 3 Завершение рассуждения

Лекция 6. Представление линейных пространств. Метрические пространства.
Представление линейных пространств Замечание Координатные пространства Замечания (векторные пространства) Инъективное отображение Общие свойства функции расстояния Метрические подпространства Пример: пространство из трех точек Шар в метрическом пространстве Изометрия метрических пространств Пространства ограниченных функций Замечание о представлении метрического пространства Понятие нормы

Лекция 7. Нормированное пространство.
Понятие нормированного пространства Свойства Примеры Свойства Метрика Пространство с вектором ненулевой величины Понятие сходимости Определение точки бесконечного накопления Замкнутое подмножество Открытое подмножество Топология Определение открытого шара Новое понятие открытого множества Замечание Доказательство свойств Замечание

Лекция 8. Метрические пространства. База окрестностей.
Повторение определений Свойства Вытекающие свойства Второе неравенство треугольника Непрерывность функции Прообраз Рассуждение в обратную сторону Критерий непрерывности Топология на множестве Открытая и замкнутая окрестность Свойство метрических пространств Окрестность и непрерывность для топологических пространств Непрерывность в точке Метрическая топология База топологии  Свойства

Лекция 9. Фильтр окрестностей. База фильтра.
Повторение определений Фильтр Порожденный фильтр База тоньше другой Эквивалентный фильтр Единственность фильтра Проверка включений Пространство сходимости в широком смысле Образ множеств Пространство сходимости, порожденное топологическим пространством Проверка критерия непрерывности Непрерывность в терминах топологии Новое понятие направленности и направления В случае топологического пространства План на следующую лекцию

Лекция 10. Топология в терминах баз окрестностей.
Сравнение определений точки прикосновения Аксиома выбора Проверка сходимости Несколько форм аксиомы выбора Принцип максимальной цепи Принцип максимального элемента Обобщение понятия полуметрики Топология, порожденная шарами Наименьшая топология по запасу открытых множеств Семейство полуметрик на одном и том же множестве База топологии Критерий хаусдорфовости топологии Переход в хаусдорфово пространство Критерий хаусдорфовости для равномерных топологий Замыкание множества относительно топологии Отношение эквивалентности Метрика на классах эквивалентности План на следующую лекцию

Лекция 11. Топологические векторные пространства.
Произведение топологических пространств Обобщение на бесконечномерный случай Замечание: произведение топологий Предбаза Векторное пространство с топологией В случае согласованности Пример: топология задается нормой и полунормой Структура топологического пространства Локально-выпуклые пространства Хаусдорфово пространство Условие полноты Направленность Коши Замечание Правый луч Проверка схождения Рассуждение в обратную сторону Пополнение равномерного пространства Полное пополнение ЛВП Теорема Хана-Банаха Естественные структуры, связанные с теоремой Эквивалентная система полунорм Восстановление систем полунорм по топологии Следствие из теоремы Хана-Банаха Алгебраическая лемма

Лекция 12. Полнота метрических пространств.
Случай метрического пространства Понятие фильтра Коши Проверка в обратную сторону Сходимость фильтра к точке Замечание: метрика, эквивалентная системе полуметрик в хаусдорфовом пространстве Замечание: равенство топологий Рассуждения в обратную сторону Проверка метрики Следующий случай проверки топологии Пополнение метрического пространства в узком смысле Теорема о пополнениях и изометрии Откуда берется единственность? Построение пополнения в широком смысле Построение пополнения в узком смысле

Лекция 13. Топология равномерной сходимости на системах множеств.
Повторение предыдущей лекции Топология равномерной сходимости на системах множеств Теорема Пространство ограниченных функций Равномерная сходимость Уравновешенное подмножество Свойство быть поглощающим Поляры Замечание: топология равномерной сходимости функционалов Лемма и её доказательство Сходимость направленности Следствие Связь свойств топологий со свойствами множеств в сопряженном пространстве Слабо ограниченные множества

Лекция 14. Полные пространства.
Тема лекции Предскалярное произведение в векторном пространстве Скалярное произведение Классификация Гильбертовы базисы Определение пополнения Второй способ пополнения метрического пространства в широком смысле Коэффициентная функция Гильбертов изоморфизм Замечание Комплексные гильбертовы пространства Определение антиизоморфизма Следствие Гильбертовые тензорные произведения (гильбертовых пространств) Тема следующей лекции

Лекция 15. Тензорные произведения. Часть 1.
Ортонормированный базис Индикаторная функция Обозначение Замечание Третье свойство Проверка равенства Проверка непрерывности отображения Проверка ограниченности Константа Липшица Модуль непрерывности Определение гильбертового тензорного произведения гильбертовых пространств

Лекция 16. Тензорные произведения. Часть 2.
Конечномерные пространства В терминах евклидовых координатных пространств Свойство универсальности для произвольных пространств Свойство единственности Доказательство существования тензорного произведения Общая единственность Замечание о единственности тензорного произведения