Группы Ли были введены в математику Софусом Ли первоначально как группы симметрий дифференциальных уравнений, но впоследствии получили широкое распространение и применение в большинстве разделов геометрии, теории представлений и математической физики. Основная заслуга С. Ли состоит в разработке функториального соответствии между группами Ли и их касательными алгебрами Ли. Группы и алгебры Ли, их структура и теория представлений являются важной частью теоретического багажа современного математика. Владение не только основами общей теории, но и развитой техникой групп и алгебр Ли является необходимым для практического применения этих понятий в других математических дисциплинах и в теоретической физике.

Цель курса — построить структурную теорию групп и алгебр Ли, основываясь на общих результатах и конструкциях теории Ли. Будут рассмотрены и изучены основные теоретико-лиевские конструкции (коммутант, радикал, замыкание Мальцева), исследованы основные классы групп Ли и алгебр Ли (коммутативные, разрешимые, полупростые) и их структурные свойства. Кульминацией курса будет классификация полупростых групп и алгебр Ли на основе замечательных комбинаторно-геометрических объектов, называемых системами корней. Для этой цели и исходя из важности в иных приложениях, мы разработаем структурную теорию и теорию представлений полупростых алгебр и групп Ли.

Основная методологическая идея курса заключается в изучении групп и алгебр Ли в их единстве: функтор Ли позволяет делать выводы о свойствах более сложных (нелинейных) объектов — групп Ли — на основе изучения более простых (линейных) объектов — алгебр Ли. С другой стороны, некоторые понятия и результаты в теории алгебр Ли приобретают естественный смысл и допускают концептуальные и простые доказательства, если их рассматривать с точки зрения соответствующих групп Ли. Можно сказать, что понятие алгебры Ли (по крайней мере, конечномерной) становится естественным только в связке с группами Ли. Этот принцип будет систематически использоваться при построении структурной теории групп и алгебр Ли.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Классификация связанных абелевых групп Ли. Коммутант группы Ли.
Напоминание первой части спецкурса О том, чему изоморфна всякая связная абелева вещественная группа Ли Чему изоморфна всякая связная абелева комплексная группа Ли Коммутант группы Ли Связь между коммутантом группы Ли и коммутантом ее алгебры Ли GLn(K)=SLn(K) Кратный коммутант алгебры Ли Разрешимая алгебра Ли Группа верхнетреугольных матриц разрешима

Лекция 2. Замыкание Мальцева. Радикалы. Полупростые группы и алгебры Ли.
Среди всех больших подалгебр Ли, которые являются подалгебрами каких-то подгрупп, существует наименьшая Замыкание Мальцева Коммутант замыкания Мальцева подалгебры h совпадает с коммутантом исходной подалгебры Полезные свойства замыкания Мальцева Существование Радикал алгебры Ли замкнут по Мальцеву Ее свойства Существование Полупростая алгебра Ли Факторгруппа алгебры Ли по ее радикалу Теорема Леви-Мальцева (без доказательства) Иллюстрация теоремы Леви-Мальцева

Лекция 3. Комплексификация и вещественные формы. Теорема Ли.
Комплексификация алгебры Ли над R Операция комплексного сопряжения Вещественная форма комплексной алгебры и группы Свойства операций комплексификации и взятия вещественной формы Теорема Ли В обозначениях теоремы в пространстве V существует полный флаг Доказательство теоремы Ли Теорема Ли для алгебр Ли Теорема Энгеля

Лекция 4. Форма Киллинга на алгебре Ли и ее свойства.
Доказательство теоремы Энгеля Разложение Жордана (аддитивное) Если в пространстве есть инвариантное относительно оператора А подпространство, тогда оно будет инвариантно и относительно его полупростой, и относительно нильпотентной частей Разложение Жордана согласовано с присоединенным представлением Инвариантное скалярное умножение Примеры инвариантных скалярных умножений на алгебрах Ли Форма Киллинга на алгебре Ли и ее свойства Критерий разрешимости Необходимое условие полупростоты

Лекция 5. Полупростые группы и алгебры Ли.
Критерий Картана Полупростые группы и алгебры Ли Алегбра Ли полупроста является прямой суммой простых некоммутативных алгебр Ли Полупростая алгебра Ли совпадает со своим коммутантом Любой идеал и любая фактор-алгебра полупростой алгебры Ли тоже является полупростой алгеброй Ли Элемент Казимира Оператор Казимира и его свойства Теорема Вейля Любое линейное представление полупростой группы Ли вполне приводимо

Лекция 6. Следствия теоремы Вейля. Теория представлений алгебры SL2.
Следствия теоремы Вейля Если g- полупростая алгебра Ли, то все её дифференцирования являются внутренними Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй некоторой группы Ли Разложение Жордана в полупростых алгебрах Ли Теория представлений алгебры SL2 Как устроены линейные представления алгебры Ли SL2 Описание неприводимых представлений алгебры SL2 V(n) изоморфна пространству однородных многочленов степени n от переменных x,y как линейное представление группы SL2

Лекция 7. Подалгебры Картана. Корневое разложение.
Список литературы Введение Подалгебры Картана Корневое разложение Свойства корневого разложения Свойства системы корней и корневых подпространств Резюме (что мы поняли про корневое разложение в полуростой алгебре Ли) Модельный пример полупростой алгебры Ли (SLn) Тогда G полупроста и f ее подалгебра Картана, а разложение-корневое

Лекция 8. Абстрактные системы корней.
Коммутируя два корневых подпространства мы получаем корневое подпространство отвечающее сумме корней Для любых двух корней а,b значение корня а на соответствующем элементе, отвечающем корню b, является целым Решетка корней Скалярное умножение положительно определено на Е* Двойственные корни (ко-корни) Числа Картана Ортогональные отражения, которые задаются всевозможными корнями, сохраняют систему корней Группа Вейля Примеры абстрактных систем корней Свойства абстрактных систем корней Простые корни 1) Любые два простых корня расположены друг относительно друга под неострым углом 2) Множество простых корней является базисом евклидова пространства Е и решетки Q Если а- простой корень, то соответст вующее корневое отражение переводит множество положительных корней, кроме а, в себя

Лекция 9. Классификация систем корней.
Группа Вейля порождается только отражениями относительно простых корней и действует на множестве всех систем положительных корней просто транзитивно Систему корней можно восстановить по системе простых корней Эквивалентность систем корней Разложимое множество векторов Устройство эквивалентности между двумя системами корней Система корней неразложима система её простых корней неразложима Матрица Картана Диаграмма (схема) Дынкина Неразложимые системы корней классифицируются с точностью до эквивалентности диаграммами Дынкина нескольких типов Описание системы корней как абстрактной системы корней в евклидовом пространстве

Лекция 10. Однозначность определения системы корней данной n/n С-алгебры Ли.
Вопросы, возникшие при изучении абстрактных систем корней и получения их классификации Однозначно ли определена система корней данной n/n С-алгебры Ли Все картановские подалгебры в алгебре Ли G переводятся друг в друга внутренними автоморфизмами Регулярный полупростой элемент G Множество регулярных полупростых элементов является открытым подмножеством нашей алгебры Ли G Регулярный элемент G Это множество открыто, плотно, связно кратности r Множество регулярных полупростых элементов открыто, плотно и связно (Все картановские подалгебры в алгебре Ли G переводятся друг в друга внутренними автоморфизмами) Теорема единственности для полупростых алгебр Ли Алгебра G порождается (как алгебра Ли) образующими Шевалле по всем корням из нашего множества корней Некоторые соотношения между образующими Шевалле

Лекция 11. Линейные представления полупростых алгебр Ли. Полупростые комплексные группы Ли и их устройство.
)v - единственный В неприводимом представлении существует единственный с точностью до пропорциональности старший вектор Теорема единственности для линейных представлений Теорема существования для линейных представлений Пример с алгеброй SLn(C) Полупростые комплексные группы Ли и их устройство Подалгебры треугольного разложения замкнуты по Мальцеву в алгебре Ли Свойства подгруппы Т (связная подгруппа Ли в группе g у которой касательная алгебра- это картановская подалгебра) Алгебраический тор Алгебраический тор Т является максимальным в группе G

Лекция 12. Классификация полупростых комплексных групп Ли.
Экспоненциальные отображения из алгебр Ли u и u- в соответствующие группы Ли являются диффеоморфизмами Группа B, соответствующая борелевской подалгебре b, является полупрямым произведением групп Т и U Треугольное разложение в группе Теорема о нормализаторе Теорема о централизаторе Центр группы G содержится в максимальном торе Т И общий случай Классификация полупростых комплексных групп Ли