Курс "Функциональный анализ. Часть 1" читается студентам третьего курса механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 5 семестре. 

Курс знакомит с понятиями и результатами классического функционального анализа, а также его приложениями к математической физике: теория меры и интеграл Лебега, пространства Лебега, пространства Гёльдера, метрические, банаховы, топологические, векторные топологические и гильбертовы пространства, банаховы алгебры.

Курс опирается на знания по базовым математическим дисциплинам: математический анализ, линейная алгебра, теория функций комплексной переменной, дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, методы математической физики. Курс даёт знания, необходимые для исследований задач математической физики методами функционального анализа, и служит основой для изучения нелинейного функционального анализа, вариационных методов, методов решения некорректно поставленных задач и дополнительных глав математической физики.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение, почти гильбертовы пространства, норма.
Предварительные понятия и обозначения Преднорма, её свойства Норма Преднормированное и нормированное пространства Метрические и предметрические пространства Замкнутые и открытые шары Топологические пространства Примеры нормированных пространств Переход к последовательностям Переход к функциям Случай бесконечности Почти гильбертовы пространства Квадратичные формы, связь с функционалом, полярное тождество Скалярное произведение Почти гильбертовы пространства (примеры) Неравенство Коши-Буняковского-Шварца Норма, порождённая скалярным произведением Сходящиеся последовательности в нормированных пространствах Гильбертизуемые пространства Теорема (фон Нойманн, Йордан) Ортогональные системы в почти гильбертовых пространствах Теорема Пифагора, примеры

Лекция 2. Почти гильбертово пространство.
Что было на прошлой лекции Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Важный пример почти гильбертова пространства Полиномы Эрмита Расстояние от точки до множества Существование и единственность ближайшего вектора Неравенство Бесселя Тотальные системы Ряд Фурье История про Фурье Теорема о разложении в ряд Фурье в почти гильбертовом пространстве Ортонормированный базис в почти гильбертовом пространстве Базис Шаудера Проблема Банаха Определение ограниченного оператора

Лекция 3. Операторы, продолжение оператора.
Ограниченные операторы: основные определения Предложение об ограниченных операторах Композиция операторов Классы операторов Классы отображений, отождествляющих пространства: топологический и изометрический изоморфизмы Примеры операторов Ограниченность и непрерывность (эквивалентность условий) Функционалы Задача Продолжение оператора Пример Филлипса отсутствия ограниченного продолжения Теорема Хана-Банаха (формулировка)

Лекция 4. Теорема Хана-Банаха.
Теорема Хана-Банаха, действительный случай Лемма Теорема Хана-Банаха, действительный случай Задачи Теорема Хана-Банаха в комплексном случае Лемма Теорема Хана-Банаха в комплексном случае Осмысление теоремы + примеры Следствия Задачи Ограниченные операторы на пространстве непрерывных функций на отрезке

Лекция 5. Банахово пространство.
Описание ограниченных операторов на пространстве непрерывных функций на отрезке Комплексные меры, вариации, интеграл по комплексной мере Теорема Рисса, формулировка Задача Полнота и банахово пространство Теорема Бэра (формулировка) Банахово и гильбертово пространство + примеры Понятие полноты - инвариант относительно изометричных изоморфизмов E - преднормированное, F - банахово пространство => B(E, F) - банахово Суммирование рядов в банаховых пространствах, признак Вейерштрасса, формулировка Принцип продолжения по непрерывности Предложение: Если оператор - изометрия, то и продолжение - изометрия Предположение: существование изометрического изоморфизма банаховых пространств Теорема Рисса-Фишера Смысл теоремы в физике Теорема о максимальной ортонормированной системе в гильбертовом пространстве

Лекция 6. Гильбертово пространство.
Унитарные операторы, подобные операторы Исторический экскурс Инвариантные подпространства Преимущества гильбертовых пространств над почти-гильбертовыми Предложение: об ортогональности в почти гильбертовом пространстве Теорема об ортогональном дополнении Следствие Ортогональный проектор Сопряженный линейный оператор (комплексно сопряженный) Описание ограниченных функционалов в гильбертовом пространстве

Лекция 7. Сопряженные операторы, самосопряженные операторы.
Банахов сопряженный оператор Гильбертов сопряженный оператор Предложение: гильбертов сопряженный оператор линеен и не увеличивает норму Теорема: эквивалентное определение гильбертова сопряженного оператора Следствие Свойства гильбертова сопряженного оператора С*-тождество Банахов и гильбертов оператор - разные вещи Предложение :о двойном ортогональном дополнении, сопряженность и геометрия Теорема: об ограниченном операторе между двумя гильбертовыми пространствами Самосопряженные операторы Предложение: проектор самосопряжен и идемпотентен Алгебро-геометрический словарик Теорема Банаха-Штейнхауса (признаки р/мерной ограниченности, формулировка + предварительные замечания)

Лекция 8. Теоремы Банаха, теоремы существования и единственности.
Теорема Банаха-Штейнхауса, доказательство Ограниченный оператор + задача Существенность условий теоремы Банаха Принцип открытости Теорема Банаха об обратном операторе + задачи Пополнение Определения Примеры Теорема единственности Теорема существования Канонический оператор - изометрия Рефлексивное отображение Теорема существования Компактность и сверхограниченность Эпсилон-сеть Сверхограниченность

Лекция 9. Метрические пространства, компактность и конечномерность.
Предложение: сверхограниченное пространство сепарабельно Пример, который потом понадобится Быстрый пример, который полезно знать Пример, который потом понадобится (продолжение) Предложение: о подмножестве метрического пространства утверждения) утверждение утверждение утверждение утверждение Следствие (уточнение теоремы) Компактность и конечномерность в нормированное пространство - топологический изоморфизм Лемма Продолжение доказательства предложения нормированных пространства одинаковой размерности топологически изоморфны Определение мажорирующей нормы + задача Теорема: об эквивалентности норм

Лекция 10. Сверхограниченность, компактные операторы.
Напоминание о полноте Образ сверхограниченного множества при равномерном отображении Следствие: сверхограниченность у метрических пространств - инвариант Предложение: в конечномерном пространстве сверхограниченность эквивалентна ограниченности Наблюдения (подготовка к теореме) Лемма о почти перпендикуляре Теорема Рисса Равностепенно непрерывное подмножество непрерывных функций (определение) Теорема Арцела (формулировка) + задача Компактные операторы Предложение: критерий компактности оператора Примеры Предложение: влияние композиции на компактность Определение свойства аппроксимации Предложение: гильбертово пространство обладает свойством аппроксимации

Лекция 11. Теорема Шмидта.
Задача со звёздочкой Проблема аппроксимации О пространствах, не обладающих свойством аппроксимации (без доказательств) Компактные операторы между гильбертовыми пространствами О Шмидте Теорема Шмидта (формулировка) Лемма 1 Лемма 2 Теорема Шмидта (доказательство) Лемма 3 Теорема Шмидта (конец доказательства)

Лекция 12. Теорема Шмидта. Ядерные операторы.
Доказательство теоремы Шмидта (с предыдущей лекции) Окончание доказательства теоремы Шмидта Предложение: сопряженный к конечномерному оператору сам конечномерен Следствие: сопряженный к компактному - компактный Предложение: о ряде Шмидта сопряженного оператора Свойства самосопряженного оператора (формулировки) Теорема Гильберта-Шмидта  Следствие-задача Унитарно-эквивалентные операторы Предложение: в условиях теоремы Г/Ш оператор унитарно эквивалентный диагональному оператору Теорема о ядерном операторе и его ряде Шмидта (+ определение ядерного оператора) Лемма 1 Лемма 2

Лекция 13. Теоремы Фредгольма.
Напоминание Доказательство теоремы о ядерном операторе Фредгольмовы операторы Предложение: линейный изоморфизм между ортогональном дополнением образа и ядром Первая теорема Фредгольма Лемма Продолжение доказательства теоремы Вторая теорема Фредгольма (альтернатива Фредгольма) Лемма 1 Лемма 2 Продолжение доказательства

Лекция 14. Теоремы Фредгольма и начало спектральной теории.
Конец доказательства альтернативы Фредгольма Третья теорема Фредгольма Лемма 1 Лемма 2 Продолжение доказательства теоремы Теорема Фредгольма в традиционной формулировке Теорема Аргироса-Хойдена (формулировка) У входа в спектральную теорию (основные понятия и рассуждения) Предложение: о точках спектра и принадлежности остаточному спектру утверждения теоремы) Лемма для третьего утверждения теоремы

Лекция 15. Взгляд на спектры со стороны алгебры.
Конец доказательства теоремы о строении спектра компактного оператора Алгебра: определения, задачи Предложение: о левом и правом обратном элементе Предложение: о произведении n обратимых элементов Взгляд на спектры со стороны алгебры Определение унитального гомоморфизма Предложение: об унитальном гомоморфизме и следствие для спектров О полиномиальном исчислении Теорема о законе отображения спектров для полиномиального исчисления Следствия Предложение: b обратим db обратим Предложение: о спектре обратимого элемента