Структура групп и алгебр Ли

Группы Ли были введены в математику Софусом Ли первоначально как группы симметрий дифференциальных уравнений, но впоследствии получили широкое распространение и применение в большинстве разделов геометрии, теории представлений и математической физики. Основная заслуга С. Ли состоит в разработке функториального соответствии между группами Ли и их касательными алгебрами Ли. Группы и алгебры Ли, их структура и теория представлений являются важной частью теоретического багажа современного математика. Владение не только основами общей теории, но и развитой техникой групп и алгебр Ли является необходимым для практического применения этих понятий в других математических дисциплинах и в теоретической физике.

Цель курса — построить структурную теорию групп и алгебр Ли, основываясь на общих результатах и конструкциях теории Ли. Будут рассмотрены и изучены основные теоретико-лиевские конструкции (коммутант, радикал, замыкание Мальцева), исследованы основные классы групп Ли и алгебр Ли (коммутативные, разрешимые, полупростые) и их структурные свойства. Кульминацией курса будет классификация полупростых групп и алгебр Ли на основе замечательных комбинаторно-геометрических объектов, называемых системами корней. Для этой цели и исходя из важности в иных приложениях, мы разработаем структурную теорию и теорию представлений полупростых алгебр и групп Ли.

Основная методологическая идея курса заключается в изучении групп и алгебр Ли в их единстве: функтор Ли позволяет делать выводы о свойствах более сложных (нелинейных) объектов — групп Ли — на основе изучения более простых (линейных) объектов — алгебр Ли. С другой стороны, некоторые понятия и результаты в теории алгебр Ли приобретают естественный смысл и допускают концептуальные и простые доказательства, если их рассматривать с точки зрения соответствующих групп Ли. Можно сказать, что понятие алгебры Ли (по крайней мере, конечномерной) становится естественным только в связке с группами Ли. Этот принцип будет систематически использоваться при построении структурной теории групп и алгебр Ли.