Курс «Классическая дифференциальная геометрия» читается студентам механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова на втором курсе в 4 семестре.

В рамках курса рассмотрены кривые в евклидовом пространстве, а также поверхности - их первая и вторая фундаментальные формы. Даны элементы дифференциального исчисления на поверхности, геодезические на поверхностях и криволинейные координаты в области и на поверхности. 

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение. Кривые в евклидовом пространстве.
Организационные вопросы Немного о предмете Напоминания: дифференцируемая функция Дифференциал Теорема о производной сложной функции Касательное пространство, касательный вектор Теорема об обратном отображении Теорема о неявной функции То, в чем путаются студенты Переход непосредственно к предмету Кривые в евклидовом пространстве Утверждение о двух регулярных параметризациях одной кривой Задание кривой системой уравнений Касательная к кривой

Лекция 2. Касательные к кривой. Соприкосновение. Натуральный параметр.
Касательная к кривой Утверждение о касательной к гладкой дуге Утверждение о касательной к кривой, заданной системой уравнений Соприкосновение Утверждение о соприкосновении порядка m и расстоянии от точки одной кривой до другой Утверждение о точках спрямления Утверждение о кривой, целиком состоящей из точек спрямления Соприкасающаяся окружность (теорема) Центр кривизны, радиус кривизны, кривизна Как выглядит соприкасающаяся окружность Отличие двух натуральных параметризаций

Лекция 3. Формулы Френе.
Натуральная параметризация Вычисление кривизны кривой в натуральной параметризации Геометрический смысл кривизны в натуральной параметризации Формулы Френе (на плоскости) Восстановление гладкой кривой по функции кривизны Формулы Френе для трехмерного пространства Формы записи формул Френе Если у кривой без точек спрямления кручение равно 0, то кривая плоская Теорема о гладкой кривой без точек спрямления Лемма Базис Френе в n-мерном пространстве

Лекция 4. Общие формулы Френе. Проекции регулярной кривой на трехгранник Френе. Эволюта и эвольвента.
Вычисление кручения в произвольной параметризации Процесс ортогонализации Грама-Шмидта Первоначальное определение базиса Френе для n-мерного пространства Матрица перехода между базисами Френе Общие формулы Френе Правильное определение базиса Френе (+ задача о восстановлении) Проекции регулярной кривой на трехгранник Френе Нормальная плоскость Спрямляющая плоскость Соприкасающаяся плоскость Эволюта (определение) Теорема: эволюта является огибающей семейства нормалей Эвольвента (определение) Теорема о связи эволюты и эвольвенты Соприкасающаяся окружность, наглядно Эволюта и эвольвента параболы Приложение в механике

Лекция 5. Интеграл кривизны. Поверхности. Касательная плоскость.
Интеграл кривизны по контуру и число вращения Теорема о внешних углах замкнутой кусочно-гладкой кривой Поверхности в трехмерном пространстве (основные определения) Утверждение: в окрестности любой внутренней точки поверхность можно задать уравнением вида z=f(x,y) Следствия Гладкое отображение в точке поверхности Утверждение о задании поверхности уравнением вида F(x)=0 Касательная плоскость к поверхности Аффинная касательная плоскость Еще одна запись касательной плоскости Система обозначений

Лекция 6. Первая и вторая квадратичные формы. Главные кривизны.
Квадратичная форма Первая квадратичная форма Замена координат Длина кривой Площадь поверхности (как неправильно и как правильно) Замечание об обозначениях Вторая квадратичная форма Геометрический смысл Кривизна нормального сечения Главные кривизны Вид поверхности в зависимости от кривизны

Лекция 7. Деривационные формулы Вайнгартена. Линейчатые и изометричные плоскости поверхности.
Повторение прошлой лекции Утверждение о кривизне нормального сечения Сведения из линейной алгебры Деривационные формулы Вайнгартена Следствие Оператор Вайнгартена Сферическое отображение Инварианты оператора Вайнгартена (средняя и гауссовая кривизны) Линейчатые и изометричные плоскости поверхности Развертывающиеся поверхности Теорема о поверхностях с нулевой гауссовой кривизной Выбор параметризации

Лекция 8. Минимальные поверхности.
Теорема о поверхностях с нулевой гауссовой кривизной Как выглядят поверхности, частные случаи Линии кривизны и омбилические точки Утверждение о линиях кривизны (нормали к кривой заметают развертывающуюся поверхность) Утверждение о поверхностях, состоящих из омбилических точек Минимальные поверхности Теорема: минимальная поверхность как поверхность с нулевой средней кривизной Несколько замечаний по теореме

Лекция 9. Деривационные формулы Гаусса. Поверхности вращения. Теорема Менье.
Повторение прошлой лекции Теорема Менье Поверхности вращения Кривизна нормального сечения Деривационные формулы Гаусса Тождества Кристоффеля Задачи

Лекция 10. Совместность ОДУ, коммутатор векторных полей, теорема Бонне.
Совместность обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) Доказательство необходимости условия совместности Доказательство достаточности условия совместности Простейший случай условия совместности Коммутатор векторных полей Выяснение, когда два векторных поля на поверхности будут базисным векторным полем Восстановление по первой и второй квадратичным формам Теорема Бонне

Лекция 11. Теорема Бонне. Уравнения Гаусса, Гаусса-Кодацци, Петерсона-Майнарди-Кодацци. Поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Необходимые формулы Продолжение доказательства теоремы Бонне Уравнение Гаусса-Кодацци (их количество) Уравнение Гаусса, теорема Гаусса Уравнения Петерсона-Майнарди-Кодацци Поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной

Лекция 12. Поверхности отрицательной гауссовой кривизны. Геодезические. Теорема Клеро.
Напоминание Вид первой и второй квадратичной формы на поверхностях отрицательной гауссовой кривизны Поверхности с постоянной гауссовой кривизной -1, соответствующие решению Гордон-уравнения Пример такой поверхности Геодезическая кривизна Примеры геодезических Ответ на вопрос студента Теорема Клеро Уравнения геодезических Уравнения геодезических в натуральной параметризации Продолжение геодезической

Лекция 13. Уравнения Эйлера-Лагранжа. Экспоненциальное отображение.
Уравнения Эйлера-Лагранжа Лагранжиан для геодезических Смысл лагранжиана Экспоненциальное отображение Теорема об экспоненциальном отображении Пример экспоненциального отображения (+ откуда взялось название) Обобщенная полярная система координат Лемма Утверждение об обобщенных полярных координатах Геодезические как кратчайшие Теорема о существовании полугеодезической системы координат Вычисление гауссовой кривизны в полугеодезической системе координат

Лекция 14. Сфера и плоскость Лобачевского. Параллельный перенос.
Напоминание Вид полугеодезической системы координат у поверхности с постоянной гауссовой кривизной Следствие Сфера Линии постоянной геодезической кривизны на сфере Разные метрики сферы Линии постоянной геодезической кривизны в стереографической проекции Поверхность постоянной отрицательной кривизны Кривизна  Линии постоянной геодезической кривизны на плоскости Лобачевского Деривационные формулы Вайнгартена Системы координат на плоскости Лобачевского Ковариантное дифференцирование Аналог формул Френе Теорема о восстановлении кривой Параллельный перенос

Лекция 15. Угловой дефект. Теорема Гаусса-Бонне.
Свойства параллельного переноса Ковариантная производная поля вдоль вектора Ковариантный дифференциал, свойства Угловой дефект (определение) Значение кривизны в терминах скорости вращения Угловой дефект Связь углового дефекта и эйлеровой характеристики (формулировка) Эйлерова характеристика Связь углового дефекта и эйлеровой характеристики (доказательство) Теорема Гаусса-Бонне Условие совместности

Лекция 16. Консультация.
Теорема Клеро О кусочно-линейных поверхностях Задача о кручении на поверхностях отрицательной кривизны Поверхностный интеграл, обсуждение площади Параллельный перенос на плоскости Лобачевского Разрезание поверхностей Смысл коммутатора векторных полей Площадь поверхностей (разбиение) Треугольники, состоящие из геодезических Геодезические (на конусе в том числе) Задача о линиях кривизны, являющихся геодезическими (в обратную сторону) О программе, билетах и экзамене Площадь