Курс аналитической механики для студентов 4-го курса отделения математики механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова. Читается в 8-ом семестре.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Уравнения Лагранжа 2-го рода.
Уравнения Лагранжа 2-го рода Принцип Даламбера-Лагранжа для систем с геометрическими связями Формулировка принципа Кинетическая энергия системы Уравнения Лагранжа 2-го рода Доказательство Лемма Разрешимость относительно старших производных Обобщённые силы Пример Случай потенциальных сил Функция Лагранжа (лагранжиан) Первые интегралы уравнений Лагранжа Обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби) Циклические интегралы

Лекция 2. Первые интегралы уравнений Лагранжа. Понижение порядка по Раусу.
Краткий обзор предыдущей лекции Обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби) Натуральные механические системы Калибровка лагранжиана Понижение порядка по Раусу Функция Рауса Вариационные принципы

Лекция 3. Симметрии. Вариационные принципы.
Теорема Нётер Поле симметрий Теорема Нётер Свойства поля симметрий Замена координат Вариационные принципы Вариационный принцип Гамильтона Функционал "действие" Вариация кривой по Гамильтону Принцип наименьшего действия Вариационный принцип Мопертюи-Якоби "Действие" по Якоби Метрика Якоби

Лекция 4. Вариационные принципы. Состояния равновесия.
Вариационные принципы Вариационный принцип Мопертюи-Якоби "Действие" по Якоби Вариация по Якоби Вариация по Гамильтону Вариация "Действия" на вариации кривой Экстремаль функционала "Действия" по Якоби Формулировка принципа Мопертюи-Якоби Метрика Якоби Положения равновесия Определение положения равновесия Состояния равновесия Утверждение: положения равновесия для натуральных систем Устойчивость положения равновесия по Ляпунову Асимптотическая устойчивость Функция по Ляпунову Теорема Ляпунова об устойчивости Теорема Лагранжа-Дирихле

Лекция 5. Теорема Лагранжа-Дирихле. Малые колебания. Диссипативные и гироскопические силы.
Краткий обзор предыдущей лекции Теорема Лагранжа-Дирихле Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия Вековое уравнение линеаризованных уравнений Лагранжа Уравнения малых колебаний Диссипативные и гироскопические силы Диссипативные силы (определение) Гироскопические силы (определение) Силы Релея Примеры гироскопических сил Примеры диссипативных сил Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость положения равновесия Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению Степень неустойчивости (определение)

Лекция 6. Положения равновесия. Инвариантная мера.
Краткий обзор предыдущей лекции Неустойчивость положения равновесия и гироскопическая стабилизация Степень неустойчивости положения равновесия Теорема о невозможности гироскопической стабилизации Теорема Лагранжа Консервативный случай (добавили только гироскопические силы) Парность и чётность корней характеристического полинома Инвариантная мера Инвариантная мера (определение) Теорема Лиувилля об инвариантной мере

Лекция 7. Инвариантная мера.
Построение инвариантной меры Интегрируемость в квадратурах Теорема Якоби о последнем множителе Теорема Пуанкаре о возвращении Теорема Шварцшильда–Литтлвуда

Лекция 8. Динамика твёрдого тела с неподвижной точкой.
Динамика твёрдого тела с неподвижной точкой Динамические уравнения Эйлера Случай Эйлера Динамика тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой Динамические уравнения Эйлера в случае тяжёлого т.т. Уравнения Пуассона Уравнения Эйлера-Пуассона Первые интегралы уравнений Эйлера-Пуассона Интеграл энергии Интеграл площадей Тривиальный интеграл Инвариантная мера уравнений Эйлера-Пуассона Понятие о трёх классических случаях интегрируемости Случай Эйлера Случай Лагранжа Случай Ковалевской Случай волчка Эйлера Стационарные движения Устойчивость стационарных движений Фазовый портрет уравнений Эйлера Эллипсоид инерции Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка Эйлера Регулярная прецессия в случае Эйлера

Лекция 9. Случай Лагранжа. Уравнения Гамильтона.
Случай Лагранжа Циклические интегралы Понижение по Раусу След оси динамической симметрии на сфере Пуассона Гамильтонова механика: уравнения Гамильтона Вывод из уравнений Лагранжа Функция Гамильтона в случае натуральной системы Свойства функций Гамильтона Первый интеграл системы Циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона Наличие инвариантной меры

Лекция 10. Принцип Гамильтона. Интегральные инварианты.
Краткий обзор предыдущей лекции Преобразование Лежандра Принцип Гамильтона в фазовом пространстве Лемма об аннуляторе канонической 2-формы Интегральные инварианты Относительный интегральный инвариант Пуанкаре-Картана Относительный интегральный инвариант Пуанкаре Абсолютный интегральный инвариант

Лекция 11. Канонические преобразования.
Абсолютный интегральный инвариант (продолжение) Канонические преобразования Свободные канонические преобразования и их производящая функция Производящая функция тождественного преобразования Перевёрнутый маятник (маятник Капицы) Уравнение Гамильтона-Якоби Полный интеграл Теорема Якоби (разрешимость в квадратурах) Понижение порядка по Уиттекеру Автономизация системы

Лекция 12. Геометрические аспекты гамильтоновой механики.
Симплектическое многообразие Размерность симплектического многообразия Теорема Дарбу Гамильтоново векторное поле Скобки Пуассона Тождество Якоби Формула Лейбница Алгебры Ли Теорема Пуассона о первых интегралах Теорема Лиувилля об интегрируемых системах Интегрируемость в квадратурах

Лекция 13. Теорема Лиувилля. Примечания к курсу.
Теорема Лиувилля (продолжение) Утверждение (Лиувилль-Арнольд) Переменная "действие угол" Примечания к курсу Число Авогадро Волчок Эйлера (случай регулярной прецессии) Метод разделения переменных (уравнение Гамильтона-Якоби)