Семинары по курсу "Классическая дифференциальная геометрия" (механико-математический факультет МГУ, 3 семестр)

Список всех тем лекций

Семинар 1. Теория кривых. Часть 1.
Кривая в евклидовом пространстве Вектор скорости, регулярная кривая Длина кривой Натуральная параметризация Кривизна кривой Главная нормаль Бирегулярные кривые Репер Френе Циклоиды Вычисление кривизны кривой и её репера Френе Формула для вычисления кривизны Пример: прямая Пример: окружность Пример: эллипс Вычисление кривизны кривой, заданной неявно Геометрический смысл кривизны и соприкасающиеся окружности Эквидистанта и эволюта (каустика)

Семинар 2. Теория кривых. Часть 2.
Напоминание материала предыдущего семинара Бинормаль и кручение Формулы Френе Существование и единственность бирегулярной кривой с заданными кривизной и кручением Вычисление кривизны и кручения для кривой в произвольной параметризации Вычисление репера Френе Пример: винтовая линия Задача: описание всех плоских бирегулярных кривых Задача: кривые на двумерной сфере

Семинар 3. Теория поверхностей. Часть 1.
Понятие поверхности Касательный вектор и касательное пространство Вычисление длины кривой и углов между кривыми с помощью первой фундаментальной формы Об обозначениях Стандартные задачи Задача: вычисление компонент первой фундаментальной формы на цилиндре Задача: вычисление компонент первой фундаментальной формы на сфере Задача: углы и длины сторон криволинейного треугольника Задачи: неявно заданная поверхность, поверхность вращения План следующего занятия

Семинар 4. Теория поверхностей. Часть 2.
Напоминание материала предыдущего семинара Теорема о паре форм Главные кривизны, векторы главных направлений Геометрический смысл главных кривизн Средняя кривизна, гауссова кривизна Формула Эйлера Примеры Цилиндр Катеноид Задача, комбинирующая теорию кривых и теорию поверхностей Задачи с легко угадываемым ответом Сфера Тор вращения Геометрический смысл гауссовой кривизны Геометрический смысл средней кривизны

Семинар 5. Теория поверхностей. Часть 3.
Напоминание материала предыдущего семинара Гауссова и средняя кривизны графика Домашнее задание Теорема Менье Пример использования теоремы Менье: цилиндр Деривационные формулы Вейнгартена-Гаусса Задача об эквидистантной поверхности

Семинар 6. Геодезические на поверхностях. Часть 1.
Понятие геодезической Теорема о существовании и единственности геодезической Простейшие свойства геодезических Примеры и задачи Геодезические на плоскости Теорема об изометричных поверхностях Геодезические на цилиндре Геодезические на конусе Теорема о касающихся по кривой поверхностях Геодезические на сфере Задача о прямой на поверхности Геодезические на поверхностях вращения, теорема Клеро, доказательство (начало доказательства)

Семинар 7. Геодезические на поверхностях. Часть 2. Метрики в области, классические метрики.
Напоминание материала предыдущего занятия Доказательство теоремы Клеро (конец доказательства) Геометрический смысл теоремы Клеро Поверхности без замкнутых геодезических (следствие теоремы Клеро) Метрики в области Пример: евклидова метрика в сферических координатах, метрика сферы Географические карты Стереографические координаты на сфере Задачи о стереографической проекции, конформно-евклидовы метрики

Семинар 8. Псевдоевклидово пространство, псевдосфера, геометрия Лобачевского.
Конформо-евклидовы метрики (продолжение) Геометрия сферы, треугольник на сфере, движения сферы Псевдоевклидово пространство Псевдосфера Псевдосферы в двумерном псевдоевклидовом пространстве, специальная теория относительности Геометрия Лобачевского, пятый постулат в формулировках Евклида и Лобачевского Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского Модель (круг) Клейна геометрии Лобачевского

Семинар 9. Геометрия Лобачевского.
Напоминание материала предыдущего занятия Дробно-линейные преобразования Задача: записать обратное дробно-линейное преобразование Модель верхней полуплоскости Задачи Задача: найти расстояние между двумя точками на плоскости Лобачевского Задача: окружность на плоскости Лобачевского Задача: теорема синусов и косинусов для геометрии Лобачевского Задача для самостоятельного решения

Семинар 10. Элементы общей топологии. Часть 1.
Приветствие, план семинара Определение топологии, топологического пространства Открытое множество, замкнутое множество Метрическое пространство, метрика (расстояние) Шар Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства, точка прикосновения Задача: метрическая топология Задача: замкнутость множества и открытость его дополнения Задача: свойства замкнутых множеств Окрестности точек и непрерывные отображения Критерий непрерывности Примеры топологических пространств Дискретная топология Антидискретная (тривиальная) топология Непрерывные отображения из дискретного пространства в произвольное, из произвольного в тривиальное Подпространство, индуцированная тополгия Операция перенесения топологии с помощью отображения Фактор-топология Любая ли топология порождается метрикой? Аксиомы отделимости Хаусдорфово пространство Пример нехаусдорфовой топологии Задача: перечислить все топологии на множестве из двух точек Какой метрикой порождается дискретная топология? План следующего семинара

Семинар 11. Элементы общей топологии. Часть 2.
План семинара Связность Гомеоморфизм Примеры негомеоморфных пространств Линейная связность, или связность по путям Пример связного, но не линейно связного пространства Компактные топологические пространства и их свойства Теорема Бореля Теорема о непрерывности обратного отображения Многообразия Дифференцирование функции на топологическом многообразии Гладкие многообразия Пример топологического негладкого многообразия Диффеоморфизм Задача на проверку диффеоморфности Построение атласа, проверка гладкости Окружность n-мерная сфера

Семинар 12. Гладкие многообразия.
Проверка гладкости функций на сфере Атлас стереографической проекции Задача: гладкость объединения двух атласов на сфере Проективные пространства Простейший пример проективного пространства Теорема о задании многообразия уравнениями Матричные группы, группы Ли

Семинар 13. Касательные векторы к многообразиям, дифференциал гладкого отображения.
Напоминание понятия касательного вектора Канонический базис касательного пространства Пример: двумерная плоскость Определение дифференциала Двойственный базис как дифференциал Задача: касательное пространство для группы ортогональных матриц Задача: касательное пространство для группы унитарных матриц Проверка дифференциала на вырожденность Пример: группа специальных унитарных матриц и невырожденность дифференциала

Семинар 14. Ориентированные и неориентированные многообразия.
План лекции Ориентация линейного пространства Ориентация на многообразии Ориентируемость регулярной гладкой кривой Другие определения ориентируемого многообразия Определение через ориентированный атлас Определение через перенос ориентации вдоль путти Пример неориентируемого многообразия: лист Мёбиуса Сфера с плёнками Мёбиуса Примеры ориентируемых многообразий Проверка ориентируемости окружности Теорема о неявной функции Следствия из теоремы о неявной функции Ориентируемость многообразия с краем Ориентируемость комплексно-аналитического многообразия Ориентируемость проективного пространства Заключительное слово лектора