Список всех тем лекций

Семинар 1. Комплексные числа.
Комплексная арифметика Формы представления комплексного числа Множества на комплексной плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Аналитическое решение задачи нахождения ГМТ способа решения) Изобразить ГМТ (параметрический способ решения) Изобразить ГМТ Стереографическая проекция

Семинар 2. Последовательности. Кривые и отображения на плоскости.
Определить предел последовательности Сходимость последовательности (ф-ла Эйлера) Предел частичных сумм (аналогия с рядом Тейлора) Одинаковые кривые Индекс точки относительно кривой Интегрирование функции вдоль кривых Определить местонахождение области Отображения и однолистность на комплексной плоскости

Семинар 3. Дробно-линейные отображения.
Задача 1 Отображение семейства кругов и открытых кругов Отображение открытого круга Отображение областей: свойство сохранения углов Записать ДЛО при данных условиях Записать ДЛО, используя свойство симметрии

Семинар 4. Степенные отображения функций.
Образы сеток координат, отображение вида w=z^2 Образ области, заданной системой Образ сетки полярных координат, отображение w=z^(1/2) Выбор ветви корня Отображение w=z^(1/2) при разных условиях Отображение w=z^6 Отображение w=z^(3/4)

Семинар 5. Прямая и обратная функция Жуковского.
Применение функции Жуковского к сетке полярных координат Применение функции Жуковского: единичный круг, внешность единичного круга Применение функции Жуковского: верхняя полуплоскость, квадрант Применение обратной функции Жуковского: комплексная плоскость с вырезанным лучом Применение обратной функции Жуковского к левой полуплоскости Применение обратной функции Жуковского к области с параметром Применение обратной функции Жуковского к области с вырезанным отрезком

Семинар 6. Задачи на перевод некоторой области в верхнюю полуплоскость.
Найти отображение, преобразующее плоскость с частью окружности Найти отображение, преобразующее плоскость с частью окружности Найти отображение, преобразующее плоскость с лучами Найти отображение, преобразующее часть плоскости Найти отображение, преобразующее часть плоскости с частями гиперболы Найти отображение, преобразующее плоскость с пересечением окружностей

Семинар 7. Экспоненциальное и логарифмическое отображения.
Экспоненциальное преобразование, применяемое к декартовой сетке координат на плоскости z Экспоненциальное преобразование, применяемое к полосе [-iп;iп] Преобразование ln z, применяемое к комплексной плоскости без луча Преобразование ln z, применяемое к части плоскости с сегментом круга Найти отображение, преобразующее часть плоскости в виде "снеговика" в верхнюю полуплоскость Преобразование sin z, применяемое к части плоскости в виде "стаканчика" Преобразование ln (z-i)/(z+i), применяемое к левой полуплоскости Преобразование arccos z, применяемое к плоскости с вырезанным лучом

Семинар 8. Дифференцируемость функции комплексного переменного.
Определить множество точек, в которых функция С-дифференцируема Определить множество точек, в которых функция С-дифференцируема Найти производные exp(z), sin z, cos z, ln z Найти производную функции и определить, где она существует Записать дифференциал отображения, коэффициент растяжения и угол поворота Найти функцию, если она голоморфна, а её вещественная часть равна xy Найти функцию, если она голоморфна, а её модуль равен (x^2+y^2)*exp(x)

Семинар 9. Голоморфные функции: разложение в ряд Тейлора.
от выражения 1/(z^2+1) в степенной ряд Разложение голоморфной функции (z+1)/(z^2-5z+6) в ряд Тейлора Разложение голоморфной функции (рациональная дробь) в ряд Тейлора Разложение голоморфной функции 1/(9z^2-3z+1) в ряд в точке a=0 в ряд Тейлора в ряд Тейлора в ряд Тейлора до z^5

Семинар 10. Голоморфные функции: разложение в ряд Лорана.
Разложение функции 1/(z+1) в кольце 1 Разложение функции 1/(z-1)(z-2) в кольце 1 Разложение функции 1/((z^2-1)^2(z^2+4)) в кольце 1 в кольце 0 в кольце 1 функции (z+1)/(sin z)^3 Найти главную часть ряда Лорана в кольце 1 в кольце 1 в кольце 0

Семинар 11. Изолированные особые точки однозначного характера.
Классифицировать особые точки f(z)=(z-1)/(z^2-1) Классифицировать особые точки f(z)=sin z/(e^z-1) Классифицировать особые точки f(z)=sin z / z Классифицировать особые точки f(z)=ctg z - 1/z с помощью ряда Лорана и определить их порядок Найти все полюсы f(z)=(e^z -1)/(e^z +1) и определить их порядок Классифицировать особые точки f(z)= z/arctg z, указать порядок полюсов Обе ветви исследовать на особые точки f(z)= z^3/(z+2) * (z^2-1/z^2+1)^0.5, указать порядок полюсов Классифицировать особые точки f(z)= (e^iz+e^-iz)/sin (1+z^0.5), указать порядок полюсов / z+1), указать порядок полюсов

Семинар 12. Вычеты и интегралы.
в точке z=1 Найти вычеты f(z)=(e^z-1)/(e^z+1) во всех конечных особых точках Найти на бесконечности вычеты f(z)=(z^3+1)/(z^2+1) Найти на бесконечности вычеты f(z)=z*e^(1/z) Найти вычеты f(z)=sin z/(z-1) во всех особых точках во всех особых точках во всех особых точках Найти вычеты на бесконечности f(z) = ((z+1)(z+2))^0.5 для всех ветвей Найти интеграл dz/(4z^4+1) по окружности |z|=1 по контуру dz по контуру

Семинар 13. Приложения теории вычетов: вычисление интегралов. Часть 1.
Найти интеграл от функции f(x)=x^2/(x^2+1)(x^2+4) по числовой оси в пределах [-∞;0] Найти интеграл от функции f(x)=xe^2ix/(x^2-2x+5) по числовой оси Найти преобразование Фурье от функции f(x)=1/(x^2+1) Найти интеграл от функции f(z)=t^z/z(z+1) в пределах [c-i∞;c+i∞] Найти интеграл от функции f(x)=x*sin(kx)/(x^2-2x+2) в пределах [-∞;+∞] (синус-преобразование) Найти интеграл от функции f(x)=sin(ax)/x в пределах [0;+∞]

Семинар 14. Приложения теории вычетов: вычисление интегралов. Часть 2.
Найти интеграл от функции f(x)=(sin x)^3/(x^5+x^3) по числовой оси Найти интеграл от функции f(p)=(sin p)^3/(13+12cos p) в пределах [0;2п] Найти интеграл от функции f(p)=(cos np)*(1+2cos p)^n/(5+4cos p) в пределах [-п;п] Найти интеграл от функции f(x)=(cos nx)/(2+cos x) в пределах [-п;п] Найти интеграл от функции f(x)=1/(ch x) в пределах [0;+∞] Найти интеграл от функции f(x)=cos(ln x)/(x^2+1) в пределах [0;+∞] Найти интеграл от функции f(x)=ln(x)/(x^2+a^2) в пределах [0;+∞]

Семинар 15. Приложения теории вычетов: вычисление интегралов. Часть 3.
Найти интеграл от функции f(x)=x^(a-1)/(x^2+3x+2) в пределах [0;+∞] для комплексного параметра a Найти интеграл от функции f(x)=x^2/(ch x) в пределах [0;+∞] Найти интеграл от функции f(x)=(ln (1+x/1-x))/(x^2) в пределах [-1;1] Найти интеграл от функции f(x)=(x(1-x))^0.5/(x+1) в пределах [0;1] Найти интеграл от функции f(x)=(x^(1-a))*((1-x)^a)/(x^2+1) в пределах [0;1]