Вторая часть курса посвящена изучению банаховых алгебр, рассматривается пространство обобщенных функций, различные операторы в нем и их свойства, преобразование Фурье. Большое внимание уделяется различным топологиям в функциональных пространствах. 

Список всех тем лекций

Лекция 1. Банаховы алгебры.
Небольшая историческая справка, рекомендуемая литература Спектр Утверждения о множествах обратимых элементов в банаховых алгебрах и следствия о спектрах Тождество Гильберта Задача Задача Спектральный радиус элемента банаховой алгебры

Лекция 2. Топологии, порождённые семействами преднорм.
Обобщённые нульстепенные элементы Теорема Гельфанда Три естественных сходимости: классическая, по Вейерштрассу, покоординатная Примеры Открытое подмножество Сходимости на языке преднорм Хаусдорфовость пространства на языке преднорм Следствие о сумме Следствие для топологий

Лекция 3. Слабые топологии.
Скорректированная импликация из доказательства теоремы из прошлой лекции Топология, заданная предметрикой Задачи для линейных операторов Теорема об эквивалентных утверждениях о линейном функционале пространства с индексными преднормами Слабая топология Сравнение слабой топологии с исходной Утверждение о размерности пересечения ядер линейных функционалов в бесконечномерном пространстве Утверждение о содержании бесконечномерного пространства в окресности нуля бесконечномерного полинормированного пространства Утверждение о хаусдорфовости сопряжённого полинормированного пространства со слабой* системой преднорм Лемма о совпадании алгебраически сопряжённого пространства с линейной оболочкой функционалов при пустом пересечении их ядер Утверждение о линейной зависимости функционала от набора функционалов при наличии его ядра в пересечении ядер набора функционалов Функционал означивания

Лекция 4. Пространства пробных функций.
Повторение прошлой лекции Продолжение доказательства утверждения с прошлой лекции Утверждение о строгой слабости топологии относительно нормовой в бесконечномерном нормированном пространстве Утверждение о "несильности" слабой* топологии относительно слабой Теорема о непрерывности сопряжённого оператора относительно слабых* топологий Лемма о существовании функционала в достаточном подпространстве, сопоставляющий линейно независимые векторы с заданными комплексными числами Утверждение о плотности достаточного подпространства относительно слабой* топологии Теорема Банаха-Алаоглу Введение в пробные (основные) и обобщённые функции Горбушка и шляпа Примеры Быстро убывающая гладкая функция

Лекция 5. Обобщённые-функции.
Топология, порождённая системой преднорм пространства Шварца Пространство гладких функций на прямой Сходимость последовательности в введённых пространствах Плотность этих пространств внутри друг друга Сравнение топологий в введённых пространствах Непрерывность операторов введённых пространств Обобщённая функция с компактным носителем Обобщённая-функция конечного (бесконечного) порядка Локально интегрируемая функция Регулярная и сингулярная обобщённые функции Теорема о сингулярности дельта-функции Дирака Примеры других сингулярных обобщённых функций

Лекция 6. Обобщённая производная.
Корректировка определения функции умеренного роста Обоснование термина обобщённой функции умеренного роста Утверждение о плотности пространств финитных бесконечно дифференцируемых функций и Шварца в их сопряжённых пространствах со слабыми* топологиями Пара слов о пространстве Соболева Простейшее дифференциальное уравнение в обобщённых функциях Первообразная обобщённой функции Сравнение разных типов обобщённых функций Пример

Лекция 7. Самосопряжённые операторы.
Повторение прошлой лекции Критерий обобщённой функции с компактным носителем Обобщённая функция с компактным носителем как кратная производная некоторой регулярной функции Выводы из самосопряжённости оператора Теорема о свойствах спектра самосопряжённого оператора Инволютивный гомоморфизм Подготовка к введению непрерывного функционального исчисления

Лекция 8. Непрерывное функциональное исчисление.
Введение непрерывного функционального исчисления Непрерывное функциональное исчисление от самосопряжённого оператора Утверждение о единственности оператора при содержании спектра в двух отрезках, пересечение которых тоже отрезок Положительный оператор Полярное тождество Арифметический квадратный корень из оператора Теорема об эквивалентных утверждениях об операторе, ограниченном в гильбертовом пространстве

Лекция 9. Спектральная теорема.
Отношение порядка на множестве операторов, ограниченных в гильбертовом пространстве Семейство подпространств в гильбертовом пространстве, ассоциированных с самосопряжённым оператором Разложение единицы для самосопряжённого оператора Интеграл Римана-Стилтьеса Спектральная теорема Гильберта в аналитической форме Спектральная теорема в геометрической форме Вводные слова о преобразованиях Фурье Примеры, свойства, оператор Теорема о ядре и образе оператора классического преобразования Фурье

Лекция 10. Свёртка.
Две теоремы о смене операции дифференцирования на умножение на независимую переменную Примеры Теорема о существовании свёртки и её свойствах Главное свойство свёртки Преобразование Фурье в пространстве Шварца

Лекция 11. Обратное преобразование Фурье.
Преобразование Фурье в пространстве Шварца (продолжение) Обратное классическое преобразование Фурье Свойства оператора обратного преобразования Фурье Теорема о существовании оператора обратного преобразования Фурье в пространстве Шварца Примеры

Лекция 12. Гильбертово преобразование Фурье.
Вспомогательные леммы об операторе преобразования Фурье Теорема о единственности классического преобразования Фурье Преобразование Фурье квадратично интегрируемых функций (гильбертово преобразование Фурье) Равенство Планшереля Свойства оператора гильбертова преобразования Фурье Некоторые свойства Функции Эрмита как собственные функции оператора Фурье

Лекция 13. Функции Эрмита.
Функции Эрмита как собственные функции оператора Фурье (продолжение) Заключение