Войти
Математика 16 лекций
Дифференциальная геометрия и топология. Семинары
1
Лектор
Пенской Алексей Викторович
#семинары
Механико-математический факультет
V семестр
2022

Семинары по курсу дифференциальной геометрии и топологии для студентов-математиков 3 курса механико-математического факультета МГУ

Список всех тем лекций

Семинар 1. Регулярные гладкие кривые и поверхности на плоскости, заданные параметрически или неявно.
Вступительное слово (доказать , что сфера является регулярной неявно заданной гладкой поверхностью) (доказать, что группа специальных ортогональных матриц является регулярной неявно заданной гладкой поверхностью) (доказать, что многочлен является регулярной неявно заданной гладкой поверхностью) (задать тор вращения как гладкую гиперповерхность) (многообразие Штифеля)

Семинар 2. Гладкие многообразия и гладкие функции.
(об атласе, эквивалентности атласов) (запись функции в локальных координатах) (тор вращения) (неэквивалентность атласов) (многообразие Грассмана) (комплексный случай) (бутылка Клейна)

Семинар 3. Касательные векторы. Векторные поля. Коммутаторы векторных полей. Часть 1.
(найти размерность касательного пространства в точке, найти базис) (найти касательное пространство) (найти касательное пространство в единичной матрице) (рассмотреть отображение)

Семинар 4. Касательные векторы. Векторные поля. Коммутаторы векторных полей. Часть 2.
(рассмотреть отображение) (отображение сферы в проективную плоскость) (декартовые и полярные координаты в плоскости) (о векторных полях) (о коммутаторах) (о гладком векторном поле) (о коммутаторах)

Семинар 5. Дифференциал отображения. Дифференциал функции. Дифференциальные формы.
(доказать теорему об обратной функции для многообразия) (рассмотреть сферу, расписать функцию в базисе) (тор) (доказать, что при заданных условиях можно функции взять в качестве координат) (доказать, что при заданных условиях можно функции взять в качестве координат) (дополнение до системы локальных координат)

Семинар 6. Дифференциальные формы и операции над ними. Часть 1.
(доказать, что если для любой гладкой 1-формы ω(x) является гладкой, то векторное поле х является гладким) (доказать, что нет нетривиальных кососимметрических полилинейных функций на векторном пространстве V от k аргументов, если k больше, чем размерность V) (определитель от результатов применения 1-форм к векторным полям) (найти размерность пространства кососимметрических полилинейных функций от k аргументов) (доказать, что если дифференциальные 1-формы линейно зависимы, то их внешнее произведение равно нулю) (найти дифференциал, контракцию с векторным полем) (об отображениях) (записать в полярных координатах дифференциальные формы) (об 1-форме) (вычислить дифференциалы)

Семинар 7. Дифференциальные формы и операции над ними. Часть 2.
(о дифференциале) (производная 1-формы в локальных координатах) (интегральные кривые векторного поля) (найти производную Ли) (найти производную Ли) (о производной Ли) (доказать тождество) (о коммутаторе векторных полей) Задача 9 Задача 10

Семинар 8. Интегрирование дифференциальных форм.
(найти интеграл от дифференциальной 1-формы) (найти интеграл от дифференциальной формы) (найти интеграл от дифференциальной формы) (найти интеграл от дифференциальной формы) (найти дифференциал от заданной формы) (найти дифференциал от заданной формы) (формула Стокса) Задача 8 Задача 9 (классические формулы Стокса)

Семинар 9 и 10. Ориентация. Разбиение единицы. Многообразия с краем. Теорема Стокса.
Пояснение о причине сдвоенного семинара (доказать, что выбор ориентации на двумерной поверхности в трёхмерном ориентированном евклидовом пространстве эквивалентен выбору гладкого поля единичных нормалей к поверхности) (о многообразии с краем) (частный случай теоремы Стокса для дифференциальных форм) (об ориентации многообразий) (об ориентации многообразий) (атлас на многообразии) (построить атлас) (найти интеграл) (найти интеграл) (доказать, что проективная плоскость не ориентируема)

Семинар 11. Риманова метрика формы объёма. Тензоры и тензорные поля.
(написать метрику в сферических координатах) (доказать, что на любом многообразии можно ввести риманову метрику) (доказать, что на n-мерном многообразии M существует дифференциальная n-форма, не обращающаяся ни в какой точке в ноль, тогда и только тогда, когда M ориентируемо) Задача 4 (о тензоре) Задача 6 (о свёртке тензоров) (опускание и подъём индекса) Задача 9 Задача 10

Семинар 12. Производная Ли тензорных полей. Многообразия. Погружение и вложение многообразий.
(найти явную формулу для производной Ли тензорного поля операторов) (доказать, что на евклидовой плоскости с заданными параметрами векторные поля являются киллинговыми) (ввести структуру гладкого многообразия на декартовом произведении) (ввести структуру гладкого многообразия на кокасательном расслоении) (привести пример подмножества R1, не являющегося подмногообразием R1) (теорема о пропускании отображения через многообразие) (теорема о выпрямлении подмногообразия) (вложение многообразий) (вложение многообразий) (о плотной обмотке тора)

Семинар 13. Связности на многообразии.
(найти символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты евклидовой плоскости в полярных координатах) (найти символы Кристоффеля на сфере единичного радиуса в трехмерном пространстве) (доказать эквивалентность) (вывести закон преобразования символов Кристоффеля при замене координат) Задача 6 (связность Леви-Чивиты на многообразии) Краткий обзор решения задач 8, 9,10

Семинар 14. Связности и параллельный перенос.
Задача 1 (о параллельном переносе) (параллельный перенос на конусе) (параллельный перенос на поверхностях) (о параллельном переносе) (о параллельном переносе) (о связностях) (о связностях)

Семинар 15. Геодезические.
Задача 1 (описать геодезические на круговом цилиндре и круговом конусе) (найти результат параллельного переноса) (о геодезических) (о геодезических) (о меридианах на поверхности вращения) (построить пример риманова многообразия по заданным условиям) (о геодезических сферах) (о геодезических координатах) О задаче 10

Семинар 16. Тензор кривизны Римана. Тензор Риччи.
(доказать свойство полугеодезических координат на римановом многообразии) (о геодезических координатах) (найти длину геодезической) (о тензоре кривизны Римана) (о тензоре кривизны Римана) (доказать верность тождества) (свойство тензора Риччи) (о тензоре Риччи) и 10

Семинар 17. Когомологии де Рама.
Повторение теоретического материала, пройденного по этой теме Задача 1 (когомологии плоскости без одной точки) Задача 3 (найти когомологии сферы) (найти когомологии тора) (найти когомологии проективной плоскости)

Связанные курсы