Курс предполагает начальные знания стохастического интеграла по винеровскому процессу и формулы Ито. Включает связи СДУ с уравнениями в частных производных, в том числе вероятностные решения уравнений Пуассона во всем пространстве, обратные уравнения Парду - Пенга, и др.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение. Основные понятия. Винеровский процесс. Стохастический интеграл.
Простейший пример СДУ Решение простейшего СДУ Более общее СДУ Теоремы (из теории меры) d-мерный винеровский процесс Квадратическая вариация винеровского процесса Мартингалы Момент остановки относительно фильтрации Стохастический интеграл для ступенчатых функций Свойства стохастического интеграла Стохастический интеграл с переменным верхним пределом Лемма Дуба

Лекция 2. Мартингальные неравенства. Их приложение к стохастическим интегралам. Стохастический дифференциал.
Замечание о стохастических интегралах от непрерывных по времени процессов Лемма Теорема Дуба Теорема Дуба об опциональной остановке Неравенство Дуба — Колмогорова Неравенство Дуба для мартингалов (и субмартингалов) Неравенство Дуба для стохастических интегралов Приложение мартингальных неравенств к стохастическим интегралам интеграла от квадрата случайного процесса Стохастический дифференциал

Лекция 3. Формулы Ито. Стохастическое дифференциальное уравнение.
Стохастический дифференциал Правило исчисления Ито Упражнения Формула Ито для произведения Формула Ито для функции порядка гладкости 2 по x функции f(t,x) Мнемонические правила для формулы Ито Многомерная формула Ито Общая многомерная формула Ито для функции от процесса со стохастическим дифференциалом Стохастическое дифференциальное уравнение

Лекция 4. СДУ Ито. Существование и единственность решения. Непрерывная зависимость решения от случайного начального условия.
Постановка задачи Теорема о единственности решения Теорема о существовании решения Постановка задачи со случайным начальным условием Теорема о непрерывной зависимости решения от начального условия, которому разрешается быть случайным

Лекция 5. Марковское свойство. Строго марковское свойство. Принцип Ямада – Ватанабе. Теорема о сильной единственности.
Эквивалентная запись (формулировка) Идея применения леммы для доказательства Марковское свойство при стандартных условиях теорем Ито о существовании и единственности (теорема) Комментарий про эргодические свойства решений Строго марковское свойство Феллеровский марковский процесс Упражнение Принцип Ямада – Ватанабе Теорема о сильной единственности

Лекция 6. Стохастические экспоненты.
Стохастическая экспонента Является ли стохастическая экспонента мартингалом Упражнения Теорема Гирсанова (условия, при которых стохастическая экспонента является мартингалом) Замечание об интегралах Теорема Гирсанова (условия, при которых стохастическая экспонента является супермартингалом) Упражнение Условия Новикова, условия Гихмана и Скорохода (достаточные условия для мартингального свойства стохастической экспоненты) Лемма (достаточные условия выполнения мартингального свойства) Теорема Гирсанова о винеровском процессе с мерой, определенной с помощью стохастической экспоненты (формулировка) Следствие (Гирсанова) о существовании (слабого) решения СДУ Упражнение Доказательство теоремы Гирсанова о винеровском процессе с мерой, определенной с помощью стохастической экспоненты

Лекция 7. Стохастические экспоненты (продолжение). Экспоненциальные оценки для стохастических интегралов. Потраекторная единственность.
Лемма (условиях, при которых стохастическая компонента от комплекснозначного процесса является мартингалом) Теорема Гихмана – Скорохода Экспоненциальные оценки для стохастических интегралов Теоремы Ямада – Ватанабе Доказательство I теоремы Ямада – Ватанабе

Лекция 8. Теоремы о сильных решениях. Теоремы сравнения. Теорема Скорохода о слабом решении.
Теоремы о сильных решениях (теорема Nakao, теорема Звонкина, теорема Веретенникова, теорема Крылова и Дёкнера) Контрпример Tanaka (есть слабое решение, но нет сильного) Контрпример Цирельсона Теорема сравнения (Yamada) Теорема о слабой единственности Доказательство теоремы Скорохода о слабом решении (вспомогательные теоремы Скорохода) Доказательство теоремы Скорохода о слабом решении

Лекция 9. Теорема Скорохода о слабых решениях. Оценки Крылова. Теорема Крылова о слабых решениях.
Теорема Скорохода о слабых решениях Оценки Крылова Теорема Крылова о слабых решениях

Лекция 10. Формула Ито – Крылова. Уравнение теплопроводности.
К доказательству теоремы Крылова о слабых решениях Производные Соболева Теорема (формула Ито – Крылова) Пример Упражнение Упражнение Упражнение

Лекция 11. Уравнение Лапласа. Уравнение Пуассона.

Лекция 12. Инвариантные меры для решения СДУ. Уравнение Пуассона в d-мерном пространстве.

Лекция 13. Уравнение Пуассона в d-мерном пространстве (продолжение).

Лекция 14. Сходимость к инвариантным мерам. Метод каплинга.

Лекция 15. Уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова. Управляемые диффузионные процессы. Уравнение Беллмана.

Лекция 16. Стохастические уравнения Маккина — Власова.

Лекция 17. Обратные СДУ Парду — Пенга. Теорема Кларка.

Лекция 18. Теорема Парду — Пенга.

Лекция 19. Прямые обратные СДУ.