Вторая часть курса теоретической механики. Читается на механико-математическом факультете МГУ (отделение механики) в 4 семестре.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Обобщённые координаты.
Общие слова о курсе Примеры Обобщённые скорости Пример Кинетическая энергия в переменных Лагранжа и её свойства Принцип Даламбера-Лагранжа в обобщённых координатах Пример: плоская задача Кеплера

Лекция 2. Консервативные голономные системы.
Интеграл энергии Явный вид уравнений движения консервативной голономной системы Движение по инерции консервативной голономной системы Уравнения малых колебаний в окрестности равновесия консервативной голономной системы Двойной математический маятник Изменённая потенциальная энергия Уравнения движения и малых колебаний обобщённо-консервативной системы

Лекция 3. Уравнения Рауса.
Уравнения Лагранжа для относительных движений Плоская круговая ограниченная задача трёх тел Уравнения Рауса Пример: плоская задача Кеплера

Лекция 4. Стационарное движение.
Обобщённый интеграл энергии Уравнения малых колебаний в окрестности стационарных движений Пример: плоская задача Кеплера Немного о гантели Белецкого

Лекция 5. Неголономные системы.
Уравнения движения неголономных систем в переменных Лагранжа с неопределёнными множителями (Идея и её реализация для систем Чаплыгина) Конёк Чаплыгина на горизонтальной плоскости

Лекция 6. Уравнения Аппеля.
Принцип Гаусса Уравнения Аппеля Конёк Чаплыгина на наклонной плоскости Конёк Каратеодори на наклонной плоскости

Лекция 7. Теорема Нётер.
Биография Эмми Нётер и её семьи Теорема Нётер Замечание об интегралах Нётер Принцип Гамильтона-Остроградского

Лекция 8. Принцип Мопертюи-Лагранжа-Якоби.
Метрика Якоби Принцип Мопертюи-Лагранжа-Якоби (или принцип наименьшего действия в форме Якоби) Истории из студенчества лектора Пример

Лекция 9. Математическая теория устойчивости. Часть 1.
История теории устойчивости Основные понятия математической теории устойчивости Теорема Ляпунова об устойчивости невозмущённого движения произвольной системы Теорема (дополнение к теореме) Ляпунова об асимптотической устойчивости невозмущённого движения произвольной системы Теорема Четаева о неустойчивости невозмущённого движения произвольной системы Частные случаи теоремы Четаева

Лекция 10. Математическая теория устойчивости. Часть 2.
Основные теоремы прямого (второго) метода Ляпунова для стационарных систем Две вспомогательные леммы Устойчивость перманентных вращений волчка Эйлера Теоремы Барбашина-Красовского и Красовского

Лекция 11. Математическая теория устойчивости. Часть 3.
Формулировки теорем Ляпунова об асимптотической устойчивости и о неустойчивости по первому приближению Доказательства теорем Пример Критерий Рауса-Гурвица Пример Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной голономной системы, её история Примеры

Лекция 12. Теоремы Кельвина-Четаева.
Доказательство обобщения теоремы Лагранжа для случая n=2 Теоремы Кельвина-Четаева При чём здесь Кельвин и Четаев? Замечание о гироскопической стабилизации Устойчивость (относительных) равновесий обобщённо-консервативных систем Пример: устойчивость треугольных точек либрации в плоской круговой задаче трёх тел (в линейном приближении)

Лекция 13. Теорема Рауса-Ляпунова-Сальвадори.
Бифуркационная диаграмма Пуанкаре-Четаева Бифуркационная диаграмма Смейла Устойчивость стационарных движений консервативных голономных систем с циклическими координатами Замечание о возможной устойчивости Пара примеров: плоская задача Кеплера и волчок Лагранжа в углах Крылова

Лекция 14. Физический маятник с вращающейся осью подвеса.
Физический маятник с вращающейся осью подвеса: первая постановка задачи Вторая постановка задачи Информация к размышлению

Лекция 15. Перманентные вращения.
Общие сведения Перманентные вращения тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой: существование, исследование на устойчивость Ветвление решений Диаграммы Пуанкаре-Четаева полученных решений Диаграммы Смейла полученных решений

Лекция 16. Кельтский камень.
Постановка задачи, вывод системы уравнений Перманентные вращения в задаче Определение кельтского камня Частный случай

Лекция 17. Гантель Белецкого.
Постановка задачи, вывод системы уравнений Первое решение Второе решение Диаграмма Пуанкаре-Четаева полученных решений

Лекция 18. Твёрдое тело в центральном гравитационном поле.
Неограниченная задача (поступательно-вращательное движение): кинетическая энергия Неограниченная задача: потенциальная энергия Неограниченная задача: уравнения движения Ограниченная задача: уравнения движения Ограниченная задача: существование и устойчивость относительных равновесий спутника на круговой орбите

Лекция 19. Разбор некоторых вопросов.
Система Чаплыгина Вывод уравнений движения в форме Чаплыгина Пример Пример: конёк Чаплыгина Пример задачи, где не обойтись без уравнений Лагранжа с неопределёнными множителями