Страница курса: http://halgebra.math.msu.su/wi...

Список всех тем лекций

Лекция 1. Векторные пространства.
Определение векторного пространства Аксиомы векторного пространства Примеры векторных пространств Следствия аксиом векторного пространства Основная лемма о линейной зависимости Базис векторного пространства Примеры базисов различных векторных пространств Изоморфизм векторных пространств Теорема об изоморфизме конечномерных векторных пространств одной размерности

Лекция 2. Матрица перехода от одного базиса к другому, подпространства.
Геометрический взгляд на векторные пространства Матрица перехода Свойства матрицы перехода Подпространство векторного пространства Примеры подпространств Конструкции подпространств Подпространство конечномерного векторного пространства Базис пространства, согласованный с подпространством Базис конечномерного пространства, согласованный с парой подпространств Формула Грассмана

Лекция 3. Факторпространство векторного пространства.
Отношение смежности векторов относительно подпространства Факторпространство векторного пространства по подпространству Примеры смежных классов и факторпространств Коразмерность подпространства в векторном пространстве Линейная независимость набора подпространств Прямая сумма подпространств Внешняя прямая сумма векторных пространств Теорема

Лекция 4. Линейные функции на векторном пространстве, cопряжённое пространство, аннулятор.
Дополнение к подпространству в конечномерном векторном пространстве Факторизация прямой суммы подпространств по слагаемым Линейные функции на векторном пространстве Линейные формы Сопряжённое пространство, его размерность Изоморфизм пространства и сопряженного пространства в конечномерном случае Двойственность в конечномерном случае Аннулятор Теорема о втором аннуляторе Задание подпространства однородной системой линейных уравнений Критерий базисности набора линейных функций

Лекция 5. Линейные отображения векторных пространств, их структура.
Примеры Запись отображения в координатах Взаимно-однозначное соответствие между линейными отображениями и матрицами Операции над линейными отображениями и соответствующие операции над матрицами Ядро и образ линейного отображения Размерность образа, ранг линейного отображения Критерии инъективности/сюръективности/биективности линейного отображения

Лекция 6. Геометрическая структура линейного отображения. Сопряжённое линейное отображение, линейные операторы.
Теорема об изоморфизме V/Ker(A) ≅ Im(A) Коразмерность ядра и размерность образа Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений в терминах линейных отображений Геометрическая структура линейного отображения Сопряжённое линейное отображение и его свойства Линейные операторы на векторном пространстве Матрица линейного оператора, её преобразование при замене базиса Алгебра линейных операторов, её изоморфизм с алгеброй квадратных матриц Определитель и след линейного оператора, их независимость от выбора базиса Невырожденные линейные операторы, эквивалентные условия невырожденности Полная и специальная линейные группы

Лекция 7. Структура линейных операторов.
Инвариантные подпространства для линейного оператора Вид матрицы оператора в базисе, согласованном с инвариантными подпространствами Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Характеристический многочлен Наличие собственных векторов в векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем Собственные подпространства Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения Линейная независимость собственных подпространств Диагонализуемые операторы, эквивалентные условия диагонализуемости Операторы с простым спектром диагонализуемы Проекторы

Лекция 8. Корневые векторы линейного оператора. Корневые подпространства.
Пример Корневые подпространства Свойства корневых подпространств Линейная независимость корневых подпространств Разложение векторного пространства в прямую сумму корневых подпространств

Лекция 9. Структура нильпотентных операторов. Жорданова нормальная форма и жорданов базис.
Структура нильпотентных операторов Циклические подпространства для нильпотентного линейного оператора, их свойства Жорданов цикл Жорданова клетка Разложение векторного пространства в прямую сумму циклических подпространств Изображение действия нильпотентного оператора с помощью диаграммы Юнга Жорданова нормальная форма и жорданов базис Формулы для количества жордановых клеток с заданным собственным значением в ЖНФ

Лекция 10. Доказательство теоремы о ЖНФ. Комплексификация вещественных векторных пространств и линейных операторов.
Доказательство теоремы о ЖНФ линейного оператора Комплексификация вещественных векторных пространств Комплексификация вещественных линейных операторов

Лекция 11. Функции от линейных операторов и матриц.
Существование инвариантного подпространства для линейного оператора в конечномерном вещественном пространстве Подстановка линейного оператора или матрицы в многочлен Минимальный многочлен Предложение 2 Предложение 3 Предложение 4 Теорема Гамильтона–Кэли Аналитические функции от линейных операторов и матриц над полем комплексных чисел Предложение 5

Лекция 12. Билинейные функции на векторных пространствах.
Экспонента линейного оператора/матрицы, её свойства Применение к решению систем однородных линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка Билинейные функции на векторных пространствах Запись билинейных функций в координатах, матрица билинейной функции Ранг билинейной функции, невырожденные билинейные функции Линейное отображение в сопряжённое пространство, задаваемое билинейной функцией Сопряжённая билинейная функция и сопряжённое отображение Симметрические и кососимметрические билинейные функции

Лекция 13. Симметрические билинейные и квадратичные функции. Алгоритм Лагранжа. Метод Якоби.
Ортогональное дополнение к подпространству Симметрические билинейные и квадратичные функции Формула поляризации Канонический вид симметричной билинейной или квадратичной функции Алгоритм Лагранжа Метод Якоби

Лекция 14. Положительно определённые симметрические билинейные и квадратичные функции. Евклидовы векторные пространства.
Нормальный вид симметрических билинейных и квадратичных функций Сигнатура и индексы инерции симметрической билинейной или квадратичной функции Положительно определённые симметрические билинейные и квадратичные функции Закон инерции Критерий Сильвестра Примеры Изоморфизм евклидовых пространств Длина вектора в евклидовом пространстве Неравенство треугольника

Лекция 15. Ортогональность векторов в евклидовом пространстве. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.
Ортогональность векторов в евклидовом пространстве Обобщённая теорема Пифагора Ортогональные и ортонормированные базисы, ортогональные системы координат Ортогональные матрицы Ортогональное дополнение к подпространству в евклидовом пространстве, его свойства Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора Матрица и определитель Грама, их свойства Ортогонализация Грама–Шмидта Угол между вектором и подпространством

Лекция 16. Линейные операторы в евклидовых пространствах.
Канонический изоморфизм евклидова пространства Взаимно однозначное соответствие между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространстве Сопряжённый оператор, его матрица в ортонормированном базисе Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству инвариантно относительно сопряжённого оператора Ортогональные операторы, эквивалентные условия ортогональности Примеры ортогональных операторов Ортогональные группы: полная и специальная Канонический вид матрицы ортогонального оператора

Лекция 17. Симметрические и кососимметрические линейные операторы.
Симметрические (самосопряжённые) и кососимметрические операторы Наличие собственного вектора у симметрического оператора Канонический вид матрицы симметрического и кососимметрического оператора Приведение симметрических билинейных и квадратичных функций к главным осям Неотрицательные и положительно определённые симметрические операторы Критерий неотрицательности и положительной определённости симметрического оператора Извлечение квадратного корня из неотрицательного и положительно определённого оператора Полярное разложение невырожденного линейного оператора в евклидовом пространстве

Лекция 18. Псевдоевклидовы векторные пространства. Изотропные подпространства. Пространство Минковского и геометрия Лобачевского.
Псевдоевклидовы векторные пространства Изотропные векторы и подпространства Изотропные подпространства одной размерности в псевдоевклидовом пространстве расположены одинаково Псевдоортогональная группа Пространство Минковского и геометрия Лобачевского Канонический вид кососимметрической билинейной функции, чётность её ранга

Лекция 19. Симплектические векторные пространства.
Симплектические векторные пространства, их размерность, симплектические базисы Все симплектические пространства одной размерности изоморфны друг другу Стандартный пример симплектического пространства Изотропные и лагранжевы подпространства в симплектическом пространстве Симплектическая группа Комплексно сопряжённое векторное пространство Полулинейные функции на комплексном векторном пространстве

Лекция 20. Эрмитовы векторные пространства.

Лекция 21. Эрмитовы векторные пространства (продолжение). Аффинная геометрия.
Унитарная группа Положительно определённые эрмитовы операторы Полярное разложение невырожденного линейного оператора в эрмитовом пространстве Комплексификация линейных операторов Аффинные пространства Векторизация аффинного пространства Реперы и системы координат в аффинном пространстве, преобразование координат при замене репера Плоскости в аффинном пространстве, способы их задания

Лекция 22. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве. Евклидовы аффинные пространства.
Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве Евклидовы аффинные пространства Расстояние между точками в евклидовом пространстве, его свойства Расстояние между плоскостями, формула для расстояния от точки до плоскости в терминах определителей Грама

Лекция 23. Объём многомерного параллелепипеда в евклидовом аффинном пространстве. Аффинные отображения аффинных пространств, их дифференциалы.
Объём многомерного параллелепипеда в евклидовом аффинном пространстве Аффинные (аффинно-линейные) отображения аффинных пространств, их дифференциалы Запись аффинного отображения в векторной форме и в координатах Композиция аффинных отображений и её дифференциал Изоморфизмы аффинных пространств, изоморфность аффинных пространств одной размерности Условие существования и единственности аффинного отображения с заданным дифференциалом Аффинно независимая система точек Группа Aff(S) аффинных преобразований аффинного пространства (S,V) Подгруппы параллельных переносов Tran(S) ≅ V и преобразований, сохраняющих начало отсчёта o ∈ S (изоморфна GL(V))

Лекция 24. Изометрии евклидовых аффинных пространств. Квадратичные функции на аффинном пространстве.
Движения евклидовых аффинных пространств Группа Isom(S) движений евклидова аффинного пространства (S,V), её подгруппа движений, сохраняющих начало отсчёта Ось движения и вектор скольжения Геометрическая классификация движений 2-мерного и 3-мерного евклидова пространства Квадратичные функции на аффинном пространстве, их запись в координатах

Лекция 25. Квадратичные функции на аффинном пространстве.
Центр квадратичной функции Приведение квадратичной функции на аффинном пространстве к каноническому виду Квадратичные гиперповерхности (квадрики) в аффинном пространстве Единственность (с точностью до пропорциональности) уравнения, задающего квадрику Центр симметрии квадрики Типы квадрик

Лекция 26. Тензоры. Тензорное умножение, тензорный базис, компоненты тензора.
Доказательство теоремы о единственности уравнения, задающего квадрику Примеры тензоров малых валентностей Определитель как тензор типа (n,0) Операции над тензорами: сложение, умножение на скаляры, тензорное умножение Cвойства операций над тензорами Тензорный базис пространства тензоров типа (p,q), его размерность, компоненты тензора Правило Эйнштейна

Лекция 27. Операции над тензорами в координатах. Преобразование компонент тензора при замене базиса в основном пространстве.
Операции над тензорами в координатах Преобразование компонент тензора при замене базиса в основном пространстве Изоморфизм пространств линейных операторов и тензоров типа (1,1) над основным пространством Свёртка тензоров Примеры свёртки Подъём и опускание индексов у тензоров

Лекция 28. Симметрические и кососимметрические тензоры. Внешнее умножение.
Ковариантные и контравариантные тензоры Симметрические и кососимметрические тензоры Операции симметризации и альтернирования тензоров, их свойства Внешнее умножение кососимметрических тензоров, его свойства Базис и размерность пространства кососимметрических тензоров данной степени Критерии линейной независимости набора векторов в терминах внешнего умножения Критерии принадлежности вектора подпространству в терминах внешнего умножения Соответствие между подпространствами и вполне разложимыми поливекторами