Курс "Введение в топологию" читается на механико-математическом факультете МГУ в 3 семестре. Изложены основы общей топологии и начала теории гомотопий. Сделан акцент на топологические конструкции и примеры их использования.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Отношения на множествах. Мощность множества.
Введение Содержание лекции Отношения на множествах Отношение эквивалентности Класс эквивалентности, фактормножества Упорядочение Линейное упорядочение Вполне упорядочение Равномощность Теорема (о мощности множества всех подмножеств) Предложение (мощность континуума) Теорема Кантора - Бернштейна Ординалы, порядок на них

Лекция 2. Топологические пространства. Метрические пространства.
Вполне упорядоченность множества ординалов Принцип трансфинитной индукции Аксиома выбора и эквивалентные ей условия Вполне упорядоченность кардиналов Гипотеза континуума   Топологические пространства Упорядочение топологий База и предбаза топологии Примеры топологий Предбаза Топология линейного порядка Метрические пространства Норма Топология метрического пространства

Лекция 3. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм.
Замыкание, внутренность, граница подмножества Окрестность Внутренняя, предельная и граничная точки, точки прикосновения Содержание Непрерывное отображение Правила построения непрерывных отображений Непрерывное отображение метрических пространств Непрерывность по Гейне Гомеоморфизм

Лекция 4. Слабая и финальная топологии относительно семейства отображений. Тихоновская топология.
Слабая (инициальная) топология относительно семейства отображения Содержание Декартово произведение семейств множеств, проекция на нем Тихоновская топология на произведении Произведение отображений Диагональное произведение отображений Финальная топология

Лекция 5. Сумма пространств, отображений. Аксиомы счетности, сепарабельность.
Финальная топология (продолжение) Сумма пространств Прямая сумма отображений Сумма отображений Факторпространства, факторные отображения Стягивание и склеивание пространств Аксиомы счетности Сепарабельность (плотность пространств)

Лекция 6. Аксиомы отделимости.
Теорема (о метризуемом сепарабельном пространстве) Первые (кардинальные) инварианты Аксиомы отделимости Предложение (об отображениях, совпадающих на всюду плотном множестве) Регулярные пространства Нормальные пространства Лемма Урысона Теорема Брауэра-Титце-Урысона

Лекция 7. Теорема Брауэра-Титце-Урысона. Кривые Пеано. Тихоновские пространства.
Содержание лекции Теорема Брауэра-Титце-Урысона Следствие теоремы Брауэра-Титце-Урысона Пример Кривая Пеано Тихоновские пространства Тихоновский куб Лемма Теорема (метризуемое пространство нормально)

Лекция 8. Метризуемые пространства. Топологические свойства, определяемые покрытиями.
Содержание лекции Метризуемые пространства Теорема (о счетном произведении метризуемых пространств) Теорема Урысона Лемма об ужатии Характеризация нормальности Компактность (и примеры) Финальная компактность (и примеры) Паракомпактные пространства Отношение включения классов пространств

Лекция 9. Разбиение единицы. Первая теорема Тихонова.
Содержание лекции Разбиение единицы Предположение о существовании разбиения единицы Пример Характеризация компактности Свойства компактности Первая теорема Тихонова (с помощью леммы Александера) Критерий компактности в Rn Компактификации Примеры

Лекция 10. Компактификация. Метризуемые компактные пространства.
Содержание лекции Теорема (Стоун-Чеховская компактификация) Локальная компактность с примерами Одноточечная компактификация Александрова Пример Теорема (о метризуемом компактном пространстве) Следствие Характеризации компактности метризуемых пространств Полные метрические пространства Примеры

Лекция 11. Метризуемые компактные пространства. Равномерная метрика.
Содержание лекции Примеры (продолжение) Теорема (Бэра о категории) Вполне ограниченные метрические пространства, их свойства Следствие (метризуемость вполне ограниченной метрикой) Примеры и предыдущее следствие Теорема (критерий компактности пространства) Следствие Равномерная непрерывность Теорема (равномерная непрерывность отображений метризуемых компактов) Равномерная метрика на произведении

Лекция 12. Равномерная метрика на произведении. Теорема Стоуна - Вейерштрасса.
Содержание лекции Равномерная метрика на произведении (продолжение) Теорема о множествах непрерывных и ограниченных отображений Теорема (любое метрическое пространство изометрически вкладывается в полное метрическое) Пополнение Аппроксимационная теорема Вейерштрасса Полиномиальные функции Теорема (о выполнении теоремы Вейерштрасса для полиномиальных функций) Теорема (Стоуна-Вейерштрасса)

Лекция 13. Компактно-открытая топология. Связность.
Теорема Стоуна-Вейерштрасса (продолжение) Содержание лекции Компактно-открытая топология на C(X,Y) Предложение о хаусдорфовости (C(X,Y), τco) Теорема (сравнение компактно-открытой топологии и топологий равномерной и поточечной сходимости ) Экспоненциальное отображение Теорема (непрерывность отображения в пространство непрерывных отображений) Связность, примеры Предложение о связных подмножествах Свойства связности Компоненты связности, примеры Квазикомпонента

Лекция 14. Линейная связность. Гомотопия.
Содержание Нульмерность Свойства несвязности Примеры Предложение (нульмерность и вполне несвязность в хаусдорфовых пространствах) Пример Линейная связность Пример Предложение (линейно связные подмножества) Свойства линейной связности Гомотопия Теорема (отношение гомотопности) Примеры Связные гомотопии

Лекция 15. Гомотопическая эквивалентность. Фундаментальная группа.
Содержание Гомотопическая эквивалентность Теорема (гомотопическая эквивалентность - отношение эквивалентности) Примеры Стягиваемые пространства с примерами Фундаментальная группа Операции на классах гомотопных путей Теорема (свойства умножения) Роль отмеченной точки для фундаментальной группы Теорема (a# - изоморфизм фундаментальных групп) Односвязность Теорема (односвязность линейно связного пространство) Примеры Индуцированный гомоморфизм Теорема (индуцированный гомоморфизм - гомоморфизм)

Лекция 16. Накрытие. Поднятие. Фундаментальная группа окружности.
Содержание Фундаментальная группа - гомотопический инвариант Лемма Теорема (о индуцированном гомоморфизме гомотопической эквивалентности) Примеры Теорема о накрывающем пути Теорема о накрывающей гомотопии Соответствие поднятия Теорема о соответствии поднятии Фундаментальная группа окружности Теорема Брауэра о неподвижной точке