Войти
Математика 23 лекции
Алгебра. Часть 2
Лектор
Тимашев Дмитрий Андреевич
#лекции
Механико-математический факультет
III семестр
2022

Список всех тем лекций

Лекция 1. Начала теории групп: определение, примеры, гомоморфизм.
Определение и свойства группы Мультипликативная и аддитивная терминологии Примеры групп Числовые множества, аддитивная группа кольца Мультипликативная группа кольца Матричные группы Линейные группы Группа движений (изометрий) и группа диэдра Группа преобразований (подстановок) Отображения, гомоморфизм групп Примеры гомоморфизмов Простейшие свойства гомоморфизма Изоморфизм групп Примеры изоморфных групп

Лекция 2. Нормальные подгруппы, факторгруппы. Основная теорема о гомоморфизмах.
Подгруппа Примеры подгрупп Циклическая группа и её свойства Левые смежные классы и их свойства Теорема Лагранжа и её следствия Правые смежные классы Нормальная подгруппа, эквивалентные определения Факторгруппа Образ и ядро гомоморфизма Примеры Каноническая проекция Основная теорема о гомоморфизмах

Лекция 3. Основная теорема о гомоморфизме. Автоморфизмы групп.
Основная теорема о гомоморфизмах (первая теорема об изоморфизме групп) Примеры применения основной теоремы о гомоморфизмах Вторая теорема об изоморфизме групп Эндоморфизмы и автоморфизмы групп Группы автоморфизмов циклических групп Внутренний автоморфизм и его свойства Группа внутренних автоморфизмов неабелевых групп Центр группы

Лекция 4. Прямые произведения.
Внутреннее прямое произведение двух подгрупп Внешнее прямое произведение двух групп Эквивалентность определений внешнего и внутреннего прямого произведения Примеры Внутреннее прямое произведение конечного числа подгрупп Внешнее прямое произведение конечного числа групп Китайская теорема об остатках Факторгруппа прямого произведение групп по прямому произведение подгрупп

Лекция 5. Системы порождающих элементов.
Подгруппа, порожденная семейством элементов Примеры порождающих систем Группа подстановок Группа четных подстановок Группа невырожденных матриц Специальная матричная группа Конечно порожденные абелевы группы Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга Подгруппа свободной абелевой группы

Лекция 6. Свободные абелевы группы. Структура конечнопорожденных абелевых групп.
Дискретное подмножество Дискретная подгруппа евклидова пространства Теорема о согласованных базисах Приведение целочисленной матрицы к псевдо-диагональному виду с помощью целочисленных элементарных преобразований строк и столбцов Универсальное свойство свободной абелевой группы Структура конечнопорожденных абелевых групп

Лекция 7. Структура конечнопорожденных абелевых групп. Экспонента группы.
Структура конечнопорожденных абелевых групп Подгруппа кручения Подгруппа p-кручения Экспонента группы Экспонента конечной абелевой группы Цикличность конечных подгрупп мультипликативной группы поля

Лекция 8. Действия групп на множествах.
Два эквивалентных определения действия групп на множествах Примеры действий Теорема Кэли Ядро неэффективности и эффективное действие Отношение эквивалентности на множестве относительно действия группы Орбиты Примеры орбит Стабилизатор Соответствие между орбитой точки и левыми смежными классами по стабилизатору этой точки Группа вращений куба

Лекция 9. Действие произвольной группы на себе самой сопряжениями. Коммутант.
Группа вращений куба Действие произвольной группы на себе самой сопряжениями Примеры Группа невырожденных матриц Группа подстановок Формула классов Центр p-примарной конечной группы Коммутативность группы, имеющей порядок, равный квадрату простого числа Коммутатор Коммутант

Лекция 10. Коммутант. Разрешимые группы.
Основные свойства коммутанта Коммутанты группы подстановок и знакопеременной группы Коммутанты полной и специальной матричных групп Кратный коммутант Характеристическая подгруппа Разрешимая группа Необходимое и достаточное условие разрешимости группы Примеры разрешимых и неразрешимых групп Разрешимость p-примарной конечной группы

Лекция 11. Простые группы.
Разрешимость группы невырожденных верхнетреугольных матриц Простые группы Простые абелевы группы Простота знакопеременной группы с определителем 1

Лекция 12. Силовские подгруппы.
Порядок подгруппы Порядок подгруппы Силовские подгруппы Первая теорема Силова Вторая теорема Силова и ее следствие Действие группы на множестве своих подгрупп сопряжениями Третья теорема Силова элементах Группа, порядок которой равен произведению двух различных простых чисел

Лекция 13. Линейные представления групп.
Определение линейного представления Примеры линейных представлений Мономиальное представление симметрической группы Представление группы действительных чисел в евклидовой плоскости поворотами Линейное представление группы в пространстве функций на множестве Регулярное представление Гомоморфизмы и изоморфизмы линейных представлений Инвариантные подпространства Приводимые, неприводимые и вполне приводимые линейные представления Примеры

Лекция 14. Вполне приводимые линейные представления.
Подпредставление вполне приводимого представления Прямая сумма линейных представлений Разложение вполне приводимого представления в прямую сумму неприводимых Теорема Машке Разложение мономиального представления в прямую сумму Ортогональные и унитарные линейные представления Ортогональные и унитарные линейные представления вполне приводимы Ортогонализуемость или унитаризуемость конечномерного линейного представления конечной группы над полем действительных или комплексных чисел

Лекция 15. Лемма Шура. Неприводимые представления абелевых групп.
Пространство гомоморфизмов и кольцо эндоморфизмов линейных представлений Ядро и образ гомоморфизма линейных представлений Лемма Шура Лемма об усреднении линейного отображения по группе Кратность неприводимого представления в разложении вполне приводимого линейного представления на неприводимые слагаемые Неприводимые представления абелевых групп над алгебраически замкнутым полем Описание неприводимых комплексных представлений конечных абелевых групп Соответствие между одномерными линейными представлениями группы и одномерными линейными представлениями ее факторгруппы по коммутанту Одномерные линейные представления группы подстановок

Лекция 16. Конечномерные комплексные линейные представления конечных групп.
Левое регулярное представление (напоминание) Кратность неприводимого представления в регулярном представлении Матричные элементы и пространство матричных элементов Базис пространства функций на группе Инвариантность пространства матричных элементов любого линейного представления группы относительно представления группы в пространстве функций на ней Центральная функция Характер линейного представления Пространство центральных функций Центральные функции в пространстве матричных элементов неприводимого представления Базис пространства центральных функций

Лекция 17. Конечномерные комплексные неприводимые линейные представления конечных групп.
Характер прямой суммы линейных представлений Структура эрмитова пространства на пространстве функций на группе Соотношения ортогональности Кратность неприводимого представления в произвольном представлении Итоги по неприводимым комплексным конечномерным представлениям конечных групп Неприводимые преставления симметрической группы Модельная задача

Лекция 18. Кольца и алгебры. Часть 1.
Определения кольца и алгебры Примеры Структурные константы алгебр Примеры структурных констант: алгебра матриц Групповая алгебра Алгебра кватернионов Тела и алгебры с делением Идеал Примеры идеалов Факторкольцо и факторалгебра

Лекция 19. Кольца и алгебры. Часть 2.
Гомоморфизмы колец или алгебр Ядро и образ гомоморфизма Каноническая проекция Основная теорема о гомоморфизмах колец или алгебр Прямая сумма колец или алгебр Китайская теорема об остатках для колец вычетов Мультипликативное свойство функции Эйлера Простое кольцо и простая алгебра Простота алгебры матриц над полем Идеал, порожденный семейством элементов кольца или алгебры Конечнопорожденный идеал Главный идеал, кольцо главных идеалов

Лекция 20. Структура факторалгебр алгебры многочленов от одной переменной над полем.
Классы вычетов по модулю многочлена в алгебре многочленов Необходимое и достаточное условие для того, чтобы факторалгебра многочленов являлась полем Трансцендентные и алгебраические элементы ассоциативной алгебры с единицей Свойства минимального многочлена алгебраического элемента Примеры Минимальный многочлен в факторалгебре Свойства алгебраических и трансцендентных элементов Присоединение к полю корня неприводимого многочлена Расширение полей

Лекция 21. Теория полей. Часть 1.
Теорема о башне расширений Конечно порожденное расширение полей Расширение, порожденное одним элементом Необходимое и достаточное условие конечности конечно порожденного расширения Алгебраическое замыкание поля в его расширении Поле алгебраических чисел Алгебраическое замыкание произвольного поля Поле разложения многочлена

Лекция 22. Теория полей. Часть 2.
Простое поле Характеристика и количество элементов конечного поля Эндоморфизм Фробениуса Структура конечных полей Построение конечного поля присоединением корня неприводимого многочлена Подполе конечного поля

Лекция 23. Конечномерные алгебры.
Центр кольца или алгебры Центральная алгебра Конечномерные ассоциативные алгебры с единицей Конечномерные алгебры с делением над алгебраически замкнутым полем Конечномерные алгебры с делением над полем вещественных чисел (Теорема Фробениуса) Теорема Веддербарна

Связанные курсы