Войти
Математика 15 лекций
Теория функций комплексного переменного
Лектор
Федоровский Константин Юрьевич
#лекции
Механико-математический факультет
IV семестр
2022

Список всех тем лекций

Лекция 1. Комплексные числа, комплексная плоскость.
Введение к курсу Основные понятия, простейшие формулы для комплексных чисел Корни натуральной степени из комплексных чисел Предел последовательности комплексных чисел Непрерывность функций комплексного переменного Комплексная экспонента и логарифм Комплексный логарифм и корень степени n Вещественная и комплексная линейность Оператор комплексной структуры Стереографическая проекция

Лекция 2. Некоторые сведения о множествах в С. Теорема Жордана.
Введение обозначений Введение обозначений, утверждения о связных множествах Открытое подмножество С связно тогда и только тогда, когда линейно связно Связные компоненты; односвязные области Примеры односвязных областей Оболочка компакта Свойство компакта в односвязной области Путь, эквивалентные пути; кривая Теорема Жордана Жорданова область Следствие из теоремы Жордана и предложения об оболочке компакта

Лекция 3. Вещественная и комплексная дифференцируемость. Голоморфные функции, конформность.
Введение Функции комплексного переменного Вещественная дифференцируемость функций комплексного переменного Производные Коши-Римана Комплексная дифференцируемость Критерий С-дифференцируемости Комплексная производная Примеры Матричная форма условий Коши-Римана Свойства С-дифференцируемых функций Теорема о производной сложной функции Теорема об обратной функции Аналитичность и регулярность Конформность Однолистные функции Конформность z^2 Конформность exp(z)  Ответы на вопросы по лекции

Лекция 4. Дробно-линейные функции. Функция Жуковского.
Введение Дробно-линейные функции Круговое свойство ДЛО и сохранение симметрии при ДЛО Построение ДЛО "по трём точкам" Следствия Пример (ДЛО верхней полуплоскости на себя) Пример (ДЛО верхней полуплоскости на единичный круг) Пример (ДЛО единичного круга на себя) Пример (ДЛО "круговой луночки" на полосу) Групповое свойство ДЛФ Функция Жуковского Тригонометрические и гиперболические функции Иллюстрации соответствующих конформных отображений

Лекция 5. Элементарные функции (окончание). Степенные ряды (основные факты). Интегрирование функций комплексного переменного.
Введение (повторение материала прошлой лекции) Примеры Примеры Лемма Абеля Формула Коши-Адамара Сумма степенного ряда - голоморфная функция в круге сходимости этого ряда Комплексная первообразная Представление функции степенными рядами Спрямляемые пути и кривые Гладкие пути и кривые Интегрирование вдоль пути Операции над кривыми Простейшие свойства интегрирования вдоль кривой Комплексная первообразная

Лекция 6. Интегрирование функций комплексного переменного. Простейшие свойства голоморфных функций в круге и их следствия.
Комплексная первообразная Лемма Гурса Усиленная лемма Гурса Существование комплексной первообразной Усиленная теорема Коши для выпуклой области Интегральная формула Коши в круге Локальное представление голоморфных функций степенными рядами Ряд Тейлора Обобщение сведений о степенных рядах и интегрировании Теорема Лиувилля Теорема Морера Лемма о среднем для голоморфных функций Принцип максимума модуля Следствие (Основная теорема алгебры) Следствие (эквивалентные подходы к понятию голоморфности)

Лекция 7. Простейшие свойства голоморфных функций в круге и их следствия.

Лекция 8. Индекс кривой относительно точки. Интегральная теорема Коши, общий случай.

Лекция 9. Нули голоморфных функций. Теорема единственности. Поведение степенного ряда на границе круга сходимости.

Лекция 10. Вычеты. Теорема Коши о вычетах для v. p. - интегралов.

Лекция 11. Принцип аргумента и его следствия.

Лекция 12. Однолистные функции.

Лекция 13. Конформные отображения.

Лекция 14. Аналитическое продолжение.

Лекция 15. Аналитическое продолжение. Полные аналитические функции.