Список всех тем лекций

Лекция 1. Комплексные числа, комплексная плоскость.
Введение к курсу Основные понятия, простейшие формулы для комплексных чисел Корни натуральной степени из комплексных чисел Предел последовательности комплексных чисел Непрерывность функций комплексного переменного Комплексная экспонента и логарифм Комплексный логарифм и корень степени n Вещественная и комплексная линейность Оператор комплексной структуры Стереографическая проекция

Лекция 2. Некоторые сведения о множествах в С. Теорема Жордана.
Введение обозначений Введение обозначений, утверждения о связных множествах Открытое подмножество С связно тогда и только тогда, когда линейно связно Связные компоненты; односвязные области Примеры односвязных областей Оболочка компакта Свойство компакта в односвязной области Путь, эквивалентные пути; кривая Теорема Жордана Жорданова область Следствие из теоремы Жордана и предложения об оболочке компакта

Лекция 3. Вещественная и комплексная дифференцируемость. Голоморфные функции, конформность.
Введение Функции комплексного переменного Вещественная дифференцируемость функций комплексного переменного Производные Коши-Римана Комплексная дифференцируемость Критерий С-дифференцируемости Комплексная производная Примеры Матричная форма условий Коши-Римана Свойства С-дифференцируемых функций Теорема о производной сложной функции Теорема об обратной функции Аналитичность и регулярность Конформность Однолистные функции Конформность z^2 Конформность exp(z)  Ответы на вопросы по лекции

Лекция 4. Дробно-линейные функции. Функция Жуковского.
Введение Дробно-линейные функции Круговое свойство ДЛО и сохранение симметрии при ДЛО Построение ДЛО "по трём точкам" Следствия Пример (ДЛО верхней полуплоскости на себя) Пример (ДЛО верхней полуплоскости на единичный круг) Пример (ДЛО единичного круга на себя) Пример (ДЛО "круговой луночки" на полосу) Групповое свойство ДЛФ Функция Жуковского Тригонометрические и гиперболические функции Иллюстрации соответствующих конформных отображений

Лекция 5. Элементарные функции (окончание). Степенные ряды (основные факты). Интегрирование функций комплексного переменного.
Введение (повторение материала прошлой лекции) Примеры Примеры Лемма Абеля Формула Коши-Адамара Сумма степенного ряда - голоморфная функция в круге сходимости этого ряда Комплексная первообразная Представление функции степенными рядами Спрямляемые пути и кривые Гладкие пути и кривые Интегрирование вдоль пути Операции над кривыми Простейшие свойства интегрирования вдоль кривой Комплексная первообразная

Лекция 6. Интегрирование функций комплексного переменного. Простейшие свойства голоморфных функций в круге и их следствия.
Комплексная первообразная Лемма Гурса Усиленная лемма Гурса Существование комплексной первообразной Усиленная теорема Коши для выпуклой области Интегральная формула Коши в круге Локальное представление голоморфных функций степенными рядами Ряд Тейлора Обобщение сведений о степенных рядах и интегрировании Теорема Лиувилля Теорема Морера Лемма о среднем для голоморфных функций Принцип максимума модуля Следствие (Основная теорема алгебры) Следствие (эквивалентные подходы к понятию голоморфности)

Лекция 7. Простейшие свойства голоморфных функций в круге и их следствия.
Теорема Коши для выпуклой области Теорема Коши и интегральная формула Коши в простейших случаях Локальное представление голоморфных функций степенными рядами Коэффициенты Тейлора Теорема Лиувилля Теорема Морера Лемма о среднем для голоморфных функций Принцип максимума модуля Эквивалентные подходы к понятию голоморфности Свойства

Лекция 8. Индекс кривой относительно точки. Интегральная теорема Коши, общий случай.
Приращение аргумента вдоль пути (кривой) Цепи и циклы Интегральная теорема Коши Критерий односвязности области Гомотопия путей Свойства гомотопии путей Следствия из интегральной теоремы Коши Теорема Вейерштрасса

Лекция 9. Нули голоморфных функций. Теорема единственности. Поведение степенного ряда на границе круга сходимости.
Нули голоморфных функций Следствие (изолированность нулей голоморфной функции) Теорема единственности для голоморфных функций Правильные и особые точки для суммы степенного ряда Следствие (на границе круга сходимости обязательно найдётся особая точка его суммы) Примеры Критерий правильной/особой точки Теорема Принсгейма Теорема Фабри (без доказательства), примеры Вторая теорема Абеля Неравенства Коши для коэффициентов Лорана Примеры Описание устранимых особенностей Описание полюсов Теорема Сохоцкого Точка "infinity" как особая точка

Лекция 10. Вычеты. Теорема Коши о вычетах для v. p. - интегралов.
Теорема Коши о вычетах Теорема о полной сумме вычетов Связь вычетов и коэффициентов Лорана Вычет в бесконечности Вычисление вычета в полюсе Вычисление вычета композиции функций (Частичный) вычет в точке относительно области - интегралов Лемма Жордана - интегралов

Лекция 11. Принцип аргумента и его следствия.
Логарифмический вычет Лемма о логарифмических вычетах Принцип аргумента, наводящее соображение Принцип аргумента Лемма о приращении аргумента функции, мало отличающейся от единицы Теорема (усиленный принцип аргумента) Теорема Руше Следствия Обратный принцип соответствия границ Новое доказательство принципа максимума модуля Лемма Шварца Лемма Шварца-Пика (инвариантная форма леммы Шварца) Следствие леммы Шварца: общий вид конформных автоморфизмов единичного круга Лемма Бореля-Каратеодори Малая теорема Пикара

Лекция 12. Однолистные функции.
Введение Критерии однолистности Обратный принцип соответствия границ Условие однолистности Теорема Гурвица и её следствия Конформные автоморфизмы D, C и C_inf Конформный радиус Подготовка к доказательству теоремы Римана Теорема Монтеля

Лекция 13. Конформные отображения.
Теорема Монтеля Функционалы на семействах гомоморфных функций Доказательство теоремы Римана Принцип симметрии Римана-Шварца Локально связные множества Теорема Каратеодори о непрерывном продолжении (без доказательства) Теорема Каратеодори о гомеоморфном продолжении Граничное условие нормировки для конформных отображений, теорема Шëнфлиса Достаточное условие однолистности

Лекция 14. Аналитическое продолжение.
Аналитическое продолжение функции Непосредственное аналитическое продолжение П. Продолжение канонических элементов вдоль пути Теорема о продолжении по гомотопным путям Теорема о монодромии, лемма о продолжении по близким путям Теорема о продолжении первообразного элемента Теорема о продолжении сложного элемента

Лекция 15. Аналитическое продолжение. Полные аналитические функции.
Лемма о продолжении по близким путям Примеры: продолжение ln z, z^p при р из C\Z Теорема о продолжении первообразного элемента Примеры: продолжение ln z - w, продолжение arctg z, продолжение ln(sqrt(z) * Ж) Теорема о продолжении сложного элемента Теорема Пуанкаре-Вольтерра Ln (z-w), w из С, z^p, p из C\Z Аналитические и голоморфные ветви Изолированные особые точки однозначного характера, точки ветвления Ф.