Курс «Введение в тензорный анализ» читается на втором курсе физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 3 и 4 семестрах.

Курс посвящён изложению: тензорной алгебры, основ теории топологических пространств, основ теории гладких многообразий (часть I), классического тензорного анализа (часть II).

Актуальность курса определяется следующими обстоятельствами. Как известно, использование системы координат очень удобно, но обладает существенным недостатком. Вводя систему координат, мы добавляем к объективной информации об интересующем нас физическом процессе некую субъективную информацию. Вместо того, чтобы непосредственно изучать интересующий нас физический процесс, мы изучаем комбинацию «процесс + система координат». Тем не менее, переход к полностью инвариантной точке зрения зачастую либо невозможен, либо слишком сложен. Однако, существует разумный компромисс. Можно использовать системы координат, игнорируя специфическую информацию, отличающую одну систему координат от другой. Для реализации этого компромисса необходим математический аппарат, позволяющий записывать базовые уравнения теории так, чтобы они имели одинаковую структуру во всех системах координат (были инвариантными). Такой математический аппарат основан на классическом тензорном анализе во второй части. Следует заметить, что основные объекты классического тензорного анализа (аффинная связность и псевдориманова метрика) имеют непосредственный физический смысл.  

Курс может представлять интерес для следующих кафедр ФФ МГУ: математики, математического моделирования и информатики, физико-математических методов управления, теоретической физики, квантовой статистики и теории поля, физики частиц и космологии, квантовой теории и физики высоких энергий.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Аффинная связность в точке на гладком квазимногообразии. Тензор кручения..
Оператор производной над тензорным полем. Аффинная связность. Примеры. Тензор кручения.

Лекция 2. Аффинная связность на всем пространстве. Ковариантная производная тензорного поля..
Гладкая числовая функция. Гладкое поле. Аффинная связность. Достаточное условие гладкости для аффинной связности. Построение гладкой аффинной связности на всем пространстве. Производная. Ковариантная производная тензорного поля. Теорема о ковариантной производной тензорного поля. Теорема о понижении степени гладкости при ковариантном дифференцировании тензорного поля.

Лекция 3. Свойства ковариантной производной тензорного поля..
Свойства ковариантной производной: сумма, умножение на константу, произведение, свертка, транспонирование поля. Доказательство свойства ковариантной производной произведения. Доказательство свойства ковариантной производной свертки.

Лекция 4. Ковариантная производная тензорного поля на сингулярной поверхности..
Продолжение: доказательство для свойства ковариантной производной свертки. Поле геометрических объектов на сингулярной поверхности. Ковариантная производная тензорного поля на сингулярной поверхности.

Лекция 5. Физический смысл аффинной связности..
Продолжение: ковариантная производная тензорного поля на сингулярной поверхности. Алгебраические свойства ковариантных производных. Физический пример использования ковариантной производной и соответствующая теория. Определение локально конечного подмножества.

Лекция 6. Абсолютно параллельное тензорное поле на кусочно гладкой сингулярной кривой..
Аксиома отделимости. Локально конечное подмножество: свойства и доказательства. Обобщенное абсолютно параллельное поле.

Лекция 7. Теоремы о повышении гладкости. Параллельный перенос тензора вдоль кривой..
Переход от обобщенной абсолютной параллельности к обычной. "Начальные" теоремы. Теорема о повышении гладкости. Глобальные теоремы единственности. Параллельный перенос: определение и свойства.

Лекция 8. Свойства параллельного переноса тензора. Коэффициенты аффинной связности..
Усиленный вариант теоремы о повышении гладкости. Свойства параллельного переноса. Геодезическая кривая. Выбор системы координат.

Лекция 9. Теорема об обнулении коэффициентов аффинной связности..
Теорема о равенстве нулю аффинной связности в определенной точке. Физические примеры. Тензор кривизны.

Лекция 10. Тензор кривизны: свойства и закон преобразования..
Тензор кривизны и его свойства. Коммутатор ковариантной производной по параметру сингулярной поверхности. Теорема о том, что R(p)- тензор. Теорема Фробениуса.

Лекция 11. Теорема о локально тривиальной аффинной связности. Псевдориманова метрика..
Теорема Фробениуса. Локально тривиальная аффинная связность. Необходимые условия локальной тривиальности. Доказательство теоремы о необходимых условия локальной тривиальности. Физические следствия. Введение: матричная алгебра.

Лекция 12. Скалярное и псевдоскалярное произведение. Согласование координатных карт..
Продолжение: матричная алгебра. Знак базиса. Псевдоскалярное произведение. Тензор Леви-Чивита Векторное произведение. Согласование координатных карт. Ориентированное многообразие.

Лекция 13. Риманова аффинная связность..
Ориентированное многообразие. Псевдориманова метрика. Риманова метрика. Аффинная связность согласованная с метрикой g. Риманова аффинная связность (свойства, существование). Формула для свёртки компонент аффинной связности.

Лекция 14. Связь ковариантной производной и операторов grad, rot, div..
Доказательство формулы для свёртки компонент аффинной связности. Связь ковариантной производной и операторов grad, rot, div.