Рассматриваются основные методы исследования краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Отличительной особенностью курса является непосредственная связь между физической сущностью изучаемых явлений и математическими методами их исследования. Курс содержит математический аппарат, знание которого необходимо студентам-физикам для дальнейшей работы в области теоретической и экспериментальной физики.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Специальные функции.
Что изучает математическая физика Специальные функции Метод разделения переменных Определение специальных функций Лемма для специальных функций Цилиндрические функции Функция Бесселя

Лекция 2. Функция Бесселя.
Функция Бесселя (продолжение) Функция Бесселя целого и полуцелого порядков Рекуррентные соотношения для цилиндрических функций Контурные интегралы (представление функции Бесселя в виде контурного интеграла)

Лекция 3. Контурные интегралы.
Контурные интегралы (продолжение) Доказательство рекуррентных соотношений для цилиндрических функций Функция Ханкеля Связь между функциями Ханкеля и Бесселя Линейная независимость функций Ханкеля, Бесселя и Неймана Асимптотика при малых x Асимптотика при больших x (метод перевала)

Лекция 4. Функция Ханкеля.
Функция Ханкеля (продолжение метода перевала) Задача Штурма-Лиувилля в круге Норма функции Бесселя Модифицированное уравнение Бесселя (функции Инфельда и Макдональда) Функция Инфельда

Лекция 5. Модифицированное уравнение Бесселя.
Модифицированное уравнение Бесселя (продолжение) Функция Макдональда Классические линейные ортогональные полиномы (КЛОП) Определение КОП и основные свойства Определение КОП Утверждения для полиномов Задача Штурма-Лиувилля для КОП Формула Родрига Квадрат нормы КОП Производящая функция

Лекция 6. Теорема о нулях полиномов.
Определение КОП и основные свойства (продолжение) Теорема о нулях полиномов Бесконечный участок: полином Эрмита Полубесконечный участок : полином Ляггера Конечный участок: полином Якоби Частные случаи: полином Чебышева Полином Лежандра (задача, формула Родрига, производящая функция)

Лекция 7. Присоединенные функции Лежандра.
Полином Лежандра и P_1 Квадрат нормы полинома Лежандра Теорема Стеклова Присоединенные функции Лежандра Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля для m-й производной Какому уравнению удовлетворяют присоединенные функции Лежандра? Задача Штурма-Лиувилля Квадрат нормы присоединенных функций Теорема Стеклова

Лекция 8. Задача Штурма-Лиувилля в шаре.
Задача Штурма-Лиувилля в шаре (сферические функции) Шаровые функции Некоторые задачи квантовой механики Задача о гармонических колебаниях частицы

Лекция 9. Задача о ротаторе.
Некоторые задачи квантовой механики (продолжение) Задача о ротаторе Движение электрона в поле протона (в кулоновском поле, атом водорода)

Лекция 10. Классификация уравнений.
Методы математической физики Классификация уравнений в случае 2-х независимых переменных. Гиперболическое уравнение (характеристики, канонический вид) Эллиптическое уравнение (канонический вид) Параболическое уравнение (канонический вид) Классификация уравнений в случае многих независимых переменных Примеры постановок физических задач Задача продольных колебаний стержня Электромагнитные колебания Процессы расплывания тепла, диффузия

Лекция 11. Уравнения эллиптического типа.
Стационарные процессы Уравнение для амплитуды установившихся гармонических колебаний Уравнения эллиптического типа Формулы Грина Фундаментальное решение уравнения Лапласа 1-я формула Грина 2-я формула Грина 3-я формула Грина Свойства гармонических функций Теорема Гаусса Формула среднего значения Функция, гармоническая внутри области, имеет бесконечное число производных Принцип максимума Принцип сравнения Постановка внутренних задач с уравнением Лапласа Задача Дирихле (доказательство единственности решения) Задача Неймана (решение не единственно) 3-я краевая задача (доказательство единственности решения 3-й и неединственность решения 2-й задач) (решение не единственно) Пример задачи Дирихле с разрывом граничной функции Постановка внешних краевых задач для уравнения Лапласа

Лекция 12. Определение регулярной функции.
Постановка внешних краевых задач для уравнения Лапласа (продолжение) Определение регулярной функции Условие регулярности для решений уравнения Лапласа (доказательство) Постановки внешних краевых задач Доказательство единственности решения внешней задачи Дирихле в R^3 (доказательство единственности решения) Внешняя задача Дирихле в R^2

Лекция 13. Функция Грина. Обобщенные функции.
Функция Грина Обобщенные функции Определение линейного функционала Определение регулярного функционала Сходимость в пространстве обобщенных функций δ-функция Дирака Дифференцирование обобщенных функций Обобщенное решение дифференциального уравнения Фундаментальное решение дифференциального уравнения Фундаментальное решение оператора Лапласа (функция Грина) Задача Дирихле (пример построения фундаментального решения) Свойства функции Грина

Лекция 14. Теория потенциалов.
Построение функции Грина по известному решению задачи Штурма-Лиувилля Теория потенциалов Определение объемного потенциала Достаточное условие существования несобственного интеграла (из мат.анализа) Свойства объемных потенциалов (из мат.анализа) Сведение неоднородной задачи к однородной (на примере внутренней задачи Дирихле) Определение потенциалов простого и двойного слоя Свойства потенциалов простого и двойного слоя (с середины) Равномерная сходимость потенциалов простого слоя (непрерывность при переходе через поверхность) Существование потенциалов двойного слоя Поверхность Ляпунова Разрыв потенциала двойного слоя при переходе через поверхность в R^3

Лекция 15. Уравнение Гельмгольца.
(продолжение) Разрыв производной потенциала простого слоя при переходе через поверхность в R^3 Метод интегральных уравнений для решения задач с оператором Лапласа Внутренняя задача Дирихле и внешняя задача Неймана (доказательство существования решения) Внутренняя задача Неймана и внешняя задача Дирихле (доказательство существования решения) Уравнение Гельмгольца Случай k = -æ^2, доказательство единственности решения краевых задач

Лекция 16. Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности.
Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности Задача теплопроводности на неограниченной прямой

Лекция 17. Задача теплопроводности на полупрямой с граничными условиями. Уравнения колебаний. Уравнения гиперболического типа.
Задача теплопроводности на полупрямой с граничными условиями Задача теплопроводности на бесконечном участке Уравнения гиперболического типа Начально-краевая задача для уравнения колебаний

Лекция 18. Задача Коши для уравнения колебаний (продолжение). Построение решения с помощью формулы Даламбера.
Задача Коши для уравнения колебаний (продолжение) Уравнение колебаний на неограниченной прямой Построение решения с помощью формулы Даламбера Решение неоднородной задачи

Лекция 19. Полубесконечный участок.
Уравнение теплопроводности на бесконечном участке в R^2 Полубесконечный участок Однородные задачи в R^1: 1-я краевая задача Однородные задачи в R^1: 2-я краевая задача Однородные задачи в R^1: 3-я краевая задача Неоднородные задачи в R^1: 1-я краевая задача (принцип Дюамеля) Неоднородные задачи в R^1: 2-я краевая задача

Лекция 20. Задача колебаний на бесконечной прямой.
Задача колебаний на бесконечной прямой (продолжение) Задача с начальными условиями u(x,0) = Psy(x) и u_t(x,0) = 0 и u_t(x,0) = Psy(x) Функция точечного источника (единичного импульса) для уравнения колебаний Эквивалентность формулы Даламбера и решения с функцией точечного источника на примере однородной и неоднородной задач колебаний Задача колебаний на полубесконечном участке Задача с однородными граничными условиями Задача с неоднородными граничными условиями Задача колебаний в бесконечной области (радиально-симметричный случай)

Лекция 21. Формула Пуассона.
Формула Кирхгофа (общий случай задачи колебаний в бесконечной области) Формула Пуассона Метод спуска Формула Пуассона в случае R^2 - формула Даламбера Случай финитного начального условия