Страница курса: https://old.mccme.ru//ium//s23...

Основным объектом, с которым мы будем работать в данном курсе, является замкнутая ориентируемая поверхность, то есть попросту сфера с ручками — то, с чего обычно начинают изучение топологии. Оказывается, несмотря на наглядность и простоту, на примере поверхностей можно изучить массу полезных приёмов и содержательных теорем из алгебраической и дифференциальной топологии.

Группа классов отображений Mod(S) поверхности S получается, если рассмотреть множество гомеоморфизмов S → S с точностью до изотопии. Инварианты этой группы, а также некоторых её подгрупп — активно развивающаяся область современной геометрической топологии. Мы начнём с базовых свойств поверхностей, и затем обсудим разные способы описать группу классов отображений (например, в терминах действия на комплексе кривых). Для понимания курса требуются минимальные знания алгебраической топологии — достаточно знакомства с понятием фундаментальной группы.

В целом курс следует первой части учебника [Farb, Margalit], с небольшими добавлениями из книги [Прасолов, Сосинский] и записок лекций [Lurie]. Он действительно вводный и будет интересен тем, кому нравится топология (на уровне непонятных картинок, гомотопий и всякого такого), но кто пока знает про группы классов отображений не очень много. Формат курса планируется близким к семинару, это будет не только рассказ у доски, но и обсуждения с аудиторией.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Классификация поверхностей. Гомеоморфизмы. Гомотопии. Теорема Шёнфлиса.
Определение топологического и гладкого многообразия (существование гладкой структуры на топологическом многообразии) - формулировка Триангуляция поверхности (о классификации поверхностей) - формулировка Пример: поверхность, полученная в результате склейки сторон шестиугольника Определение рода поверхности, полученной в результате склейки сторон восьмиугольника Доказательство теоремы о классификации поверхностей Принцип замены координат Теорема 2* (о классификации компактных поверхностей с краем) Дикие узлы Теорема Шёнфлеса (формулировка)

Лекция 2. Фундаментальная группа. Теорема Дена-Нильсена (формулировка). Группы первых гомологий.
(склейка сторон восьмиугольника) Теоремы о классификации поверхностей (простые замкнутые кривые на поверхности) Фундаментальная группа Теорема Дена-Нильсена (формулировка) Утверждение 1 Утверждение 2 Группа первых гомологий Теорема Число пересечения со знаком

Лекция 3. Группы классов отображений поверхности. Определение и примеры.
Необходимые определения, соглашения, напоминания Определение группы классов отображений поверхности Примеры вычисления группы классов отображений поверхности Трюк Александера Пример 1’ (сфера, сфера с проколом, диск с проколом) (цилиндр) Пример 2’ (сфера с двумя проколами) (сфера с тремя проколами) - формулировка (сфера с четырьмя проколами) - формулировка (сфера с тремя проколами) - попытка доказательства (тор) Пример 5’ (тор с проколом) Ответы на вопросы

Лекция 4. Накрытия. Римановы метрики. Геодезические. Кривизна. Плоскость Лобачевского, её изометрии.
Обсуждение задачи (как понять, что элемент группы классов отображений тривиален) Накрытия Универсальное накрытие Универсальное накрытие: примеры Риманова метрика: определение Геодезическая: определение Кривизна Плоскость Лобачевского Изометрии плоскости Лобачевского

Лекция 5. Свойства геодезических на плоскости Лобачевского. Абсолют. Классификация изометрий плоскости Лобачевского, сохраняющих ориентацию.
Плоскость Лобачевского (модели, геодезические) Теорема (геодезическая на плоскости Лобачевского) Следствие (экспоненциальное отображение) Теорема (геодезическая на компактифицированной плоскости Лобачевского) Как определить абсолют Топология на компактифицированной плоскости Лобачевского Теорема (геодезическая на компактифицированной плоскости Лобачевского) Теорема (изометрии плоскости Лобачевского, сохраняющие ориентацию) Классификация изометрий плоскости Лобачевского, сохраняющих ориентацию

Лекция 6. Построение гиперболической метрики на поверхности. Действие фундаментальной группы на универсальном накрытии. Центр фундаментальной группы поверхности.
Построение гиперболической метрики на поверхности Построение гиперболической метрики на поверхности (способ 1) Построение гиперболической метрики на поверхности (способ 2) Классы гомотопии замкнутых кривых на поверхности – это классы сопряженности в фундаментальной группе поверхности Теорема (централизатор любого элемента фундаментальной группы – циклическая группа) Лемма (у коммутирующих изометрий плоскости Лобачевского одинаковые неподвижные точки) Предложение Геометрический индекс пересечения Критерий двуугольника (формулировка)

Лекция 7. Склейка гиперболической поверхности из гиперболических штанов. Минимальное положение простых замкнутых кривых. Критерий двуугольника.
Гиперболические штаны Теорема (гиперболические штаны) Лемма (кратчайшая между двумя геодезическими на плоскости Лобачевского) Универсальная накрывающая гиперболических штанов Теорема (в любом классе существенной кривой существует единственная геодезическая) Теорема (существенная простая замкнутая кривая) Геометрический индекс пересечения Критерий двуугольника (обсуждение, примеры) Критерий двуугольника (доказательство) Следствие 1 Следствие 2

Лекция 8. Заполняющие кривые. Принцип Александера.
Замечания к доказательству критерия двуугольника Следствия из критерия двуугольника: следствие 1 Следствия из критерия двуугольника: следствие 2 Следствия из критерия двуугольника: следствие 3 Как понять что-то про группу классов отображений? - Рассмотреть ее действие на простых замкнутых кривых Комплекс простых замкнутых кривых Вопрос для самостоятельного обдумывания Принцип Александера Лемма Упражнение Теорема (принцип Александера)

Лекция 9. Скручивания Дена. Соотношения. Изменение чисел пересечения.
Скручивание Дена (определение) Предложение 1 (верно ли, что для любой кривой скручивание Дена нетривиально) Упражнение Теорема (количество точек пересечения кривой со своим образом) Факт 1 Задача (соотношение кос) Следствие (тривиальность центра группы классов отображений)

Лекция 10. Группы классов отображений и скручивания Дена.

Лекция 11. Гомоморфизм разрезания. Точная последовательность Бирман.