Введение в группы классов отображений

Страница курса: https://old.mccme.ru//ium//s23...

Основным объектом, с которым мы будем работать в данном курсе, является замкнутая ориентируемая поверхность, то есть попросту сфера с ручками — то, с чего обычно начинают изучение топологии. Оказывается, несмотря на наглядность и простоту, на примере поверхностей можно изучить массу полезных приёмов и содержательных теорем из алгебраической и дифференциальной топологии.

Группа классов отображений Mod(S) поверхности S получается, если рассмотреть множество гомеоморфизмов S → S с точностью до изотопии. Инварианты этой группы, а также некоторых её подгрупп — активно развивающаяся область современной геометрической топологии. Мы начнём с базовых свойств поверхностей, и затем обсудим разные способы описать группу классов отображений (например, в терминах действия на комплексе кривых). Для понимания курса требуются минимальные знания алгебраической топологии — достаточно знакомства с понятием фундаментальной группы.

В целом курс следует первой части учебника [Farb, Margalit], с небольшими добавлениями из книги [Прасолов, Сосинский] и записок лекций [Lurie]. Он действительно вводный и будет интересен тем, кому нравится топология (на уровне непонятных картинок, гомотопий и всякого такого), но кто пока знает про группы классов отображений не очень много. Формат курса планируется близким к семинару, это будет не только рассказ у доски, но и обсуждения с аудиторией.