Список всех тем лекций

Лекция 1. Симплициальные гомологии.
О курсе Симплекс Барицентрические координаты Граница симплекса Симплициальный комплекс Триангуляция топологического пространства Примеры Примеры не триангуляции Полусимплициальные комплексы (дельта-комплексы) Симплициальные гомологии

Лекция 2. Симплициальные гомологии (продолжение). Сингулярные гомологии.
Повторение предыдущего материала Доказательство Конструкция (цепной комплекс) Определение циклов Пример Пример 3 Сингулярные гомологии

Лекция 3. Ключевые свойства сингулярных гомологий.
Предложение о линейной связности Предложение о гомологии точки Цепное отображение Цепногомотопные отображения Доказательство

Лекция 4. Ключевые свойства сингулярных гомологий (продолжение).
Следствия из утверждения о гомотопической инвариантности Короткая последовательность цепных комплексов Граничный гомоморфизм Теорема о короткой точной последовательности цепных комплексов Относительные группы гомологий и последовательность пары Теорема вырезания и ее следствия

Лекция 5. Теорема вырезания.
Теорема вырезания Предложение о гомологии сферы Теорема об изоморфизме надстройки Теорема о приведенной гомологии относительно "букета" Теорема об инвариантности размерности Лемма о цепной гомотопии Доказательство теоремы вырезания

Лекция 6. Теорема вырезания (продолжение).
Лемма о мономорфизме цепных комплексов Вложенное утверждение о цепном отображении Определение оператора цепной гомотопии Вложенное утверждение о подразделении симплекса Вложенное утверждение о попадании в U Вложенное утверждение о цепном отображении

Лекция 7. Окончание первой части теории гомологий.
Завершение доказательства теоремы вырезания Точная последовательность Майера-Вьеториса Эквивалентность симплициальных и сингулярных гомологий Теорема об изоморфизме Степень отображения

Лекция 8. Клеточные гомологии.
Клеточно-граничный гомоморфизм Определение граничного гомоморфизма Теорема об эквивалентности клеточных и сингулярных групп гомологий Пример Явный вид граничного гомоморфизма

Лекция 9. Клеточные гомологии. Связь с фундаментальной группой.
Пример с нетривиальным отображением Клеточный комплекс Теорема об эйлеровой характеристике Теорема Пуанкаре

Лекция 10. Гомологии с коэффициентами и когомологии.
Алгебраические определения Ковариантный и контравариантный функторы Определение цепных комплексов Определение групп гомологий Приведенные когомологии Теорема с бесконечной аддитивностью Пример Гомоморфизмы Бокштейна Гомологический гомоморфизм Бокштейна

Лекция 11. Функторы Tor и Ext.
Понятие свободного модуля Hom-группа Свободная резольвента Tor-модуль и Ext-модуль Теорема о свойствах коммутативных колец Формулы универсальных коэффициентов Расщепимая точная последовательность абелевых групп Теорема (формулы универсальных коэффициентов)

Лекция 12. Кольцо когомологий.
Доказательство третьего пункта теоремы о универсальных коэффициентах Расщепимость пункта 3 Задача о группах Tor и Ext для конечных абелевых групп Кольцо когомологий Градуированное кольцо Теорема о градуированном коммутативном ассоциативном кольце с единицей

Лекция 13. Клеточное определение произведения пространств.
Относительные произведения и X-умножения Клеточное определение умножения Клеточное U-произведение Теорема о клеточных Х и U-произведениях Формула Кюннета Пример Алгебраическая теорема Кюннета Топологическая формула Кюннета для гомологий

Лекция 14. Продолжение обсуждения формулы Кюннета и умножения в когомологиях.
Доказательство когомологической теоремы Кюннета Внешняя алгебра с n образующими над R Предложение о кольце когомологий тора Утверждение об образующих в старшей размерности Алгебра многочленов с точки зрения тензоров Предложение о кольцах когомологий проективных пространств Случай бесконечномерного пространства

Лекция 15. Двойственность Пуанкаре.
Определение многообразия Примеры гладких многообразий Двойственность Пуанкаре Группы локальных гомологий Локальная ориентация Ориентированное многообразие Локально ориентированное многообразие Теорема о компактном связном многообразии

Лекция 16. Изоморфизм двойственности Пуанкаре.
Продолжение доказательства леммы о фундаментальном классе Теорема о компактном связном многообразии размерности n Доказательство леммы Степень отображения многообразий Изоморфизмы двойственности Теорема двойственности

Лекция 17. Главная теорема по двойственности Пуанкаре.
Продолжение предыдущей темы Лемма (функториальность) Начало доказательства теоремы о гомоморфизме двойственности Когомологии с компактными носителями Конструкция (прямой предел (копредел) групп) Прямой предел Задача определения Гомоморфизм двойственности Теорема (двойственность Пуанкаре для когомологий с компактными носителями)

Лекция 18. Завершение обсуждения двойственности Пуанкаре.
Повторение предыдущей лекции доказательства теоремы о двойственности Пуанкаре Шаг 3 Алгебра Пуанкаре Лемма Невырожденное спаривание Теорема о невырожденном спаривании Гомотопический инвариант многообразия Пример Относительные версии двойственности Задача Теорема (двойственность Пуанкаре-Лефшеца)

Лекция 19. Векторное расслоение.
Определения векторного расслоения Определение функции перехода Касательное и нормальное расслоение Определения Нормальное расслоение Пример: тавтологическое расслоение Лемма и следствие Предложение Упражнение

Лекция 20. Векторное расслоение (продолжение).
Продолжение предыдущей лекции Локально тривиальное расслоение Проективизация расслоения Теорема Теорема Лере-Хирша Шаг индукции Случай бесконечного клеточного пространства Теорема о классах Штифеля-Уитни Свойства классов

Лекция 21. Векторное расслоение (продолжение).
Повторение предыдущей лекции Теорема (свойства) Доказательство Следствие Теорема (принцип расщепления) Флагизация расслоения Следствие

Лекция 22. N-мерные расслоения. Многообразие Грассмана.
Первый класс Чженя N-мерные расслоения Вложение Плюккера Соотношения Плюккера Пример Тавтологические расслоения над многообразием Грассмана Теорема

Лекция 23. Геометрия многообразий Грассмана. Клетки Шуберта.
Комплексный грассманиан Клетка Шуберта Теорема Задача исчисления Шуберта Разбиение Предложение Теорема Теорема Классы Штифеля-Уитни Предложение Теорема Штифеля

Лекция 24. Теорема Уитни. Класс Эйлера и класс Тома. Теорема Тома.
Классы Штифеля-Уитни (напоминание) Погружение многообразий Пример Теорема Пример Класс Эйлера и класс Тома Определение ориентируемого расслоения Определения класса Тома и класса Эйлера

Лекция 25. Ориентируемое векторное расслоение. Класс Тома и класс Эйлера.
Теорема Тома Общий случай Теорема Лере-Хирша (относительный вариант) Пространство Тома Теорема (свойства класса Эйлера) Теорема о трубчатой окрестности

Лекция 26. Класс Эйлера и его свойства. Эйлерова характеристика и особые точки векторных полей.
Следствие теоремы о трубчатой окрестности Следствия Лемма Следствие Определение Лемма Лемма Теорема Теорема

Лекция 27. Классы Понтрягина кватернионных и вещественных расслоений.
Повторение Следствия Комбинаторный подход Классы Понтрягина Теорема Аналогичное описание для характеристических классов вещественных и вещественных ориентированных расслоений Кватернионы Теорема Следствие Кватернионные классы Понтрягина

Лекция 28. Точечная последовательность Гизина. Универсальные классы Понтрягина.
Связь между когомологиями проективизаций векторных расслоений Теорема о связи кватернионных классов Понтрягина с классами Чженя Замечание Предложение (свойства классов Понтрягина) Принцип расщепления Теорема Предложение Предложение Теорема (точная последовательность Гизина) Теорема