Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение.
Поясняющий пример (самый простой случай неравенства Морса) Общие слова про квантово-механические связи Наука о малых колебаниях, о чем пойдет речь В общих словах идея доказательства результатов из теории Морса План курса История квантовой механики на примере фотоэффекта Теория черного излучения Закон Кирхгофа 1) закон Стефана-Больцмана 2) закон Вина 3) теория Рэлея-Джинса Работа Планка Замечания по поводу этих физических аргументов Свет как поток частиц Соответствующие гармонические колебания

Лекция 2. Схема квантования, вейлевские операторы.
Схема квантования Классическая система Квантовая система Вейлевский дифференциальный оператор (определение) Квантовая система (продолжение) Свойства вейлевских операторов Утверждение о вейлевских операторах Одна из задач квантовой механики Два простейших примера данной квантовой задачи

Лекция 3. Туннельный эффект.
Пример с прошлой лекции Оператор монодромии Свойства оператора монодромии М Утверждение о сохранении оператором М кососимметричной формы Следствие Комплексный базис Объяснение, почему необходимо сделать комплексификацию Комплексификация, задание ортогонального базиса относительно эрмитовой формы Структуры в этом двумерном пространстве Утверждение о структурах в этом пространстве Выводы из утверждения Матрица оператора монодромии в эрмитово ортогональном базисе Физические выводы из структуры оператора монодромии (утверждение) Отличие квантовой ситуации от классической (туннельный эффект) Туннельный эффект Радиоактивный распад

Лекция 4. Туннельный эффект, квантовый гармонический осциллятор.
Иллюстрация к теории радиоактивного распада, простейшая модель Первая область графика Вторая область графика Третья область графика Подсчет коэффициента прохождения Резонансные туннелирования Конструирования потенциала, при котором возникает данный эффект Энергия, при которой возникает данный эффект Квантовый гармонический осциллятор Необходимый алгебраический факт (оператор уничтожения и оператор рождения) о спектре дифференциального оператора второго порядка для конкретного потенциала о спектре дифференциального оператора второго порядка для конкретного потенциала

Лекция 5. Многомерный квантовый гармонический осциллятор, теорема об осцилляторном приближении.
Утверждение о спектре дифференциального оператора Комментарии по поводу доказательства Обсуждение полученных формул и выводы из них Графики собственных функций Терминологическое замечание о операторах уничтожения и рождения Многомерный квантовый гармонический осциллятор Классическая система Квантовая система Спектр оператора H^ и его собственные функции Структура собственных функций Теорема об осцилляторном приближении Вспомогательное утверждение Локальная теорема об осцилляторном приближении (формулировка) Локальная теорема об осцилляторном приближении (доказательство) Следствие Глобальная теорема об осцилляторном приближении (формулировка)

Лекция 6. Первоначальные сведения из теории Морса, когомологии де Рама.
Первоначальные сведения из теории Морса Лемма Морса Утверждение для леммы Морса с доказательством по индукции Индукционный переход Функция морса (определение) Дифференциальные формы на многообразии Внешнее произведение дифференциальных форм Внешний дифференциал дифференциальной формы Когомологии де Рама k-мерные числа Бетти (их конечность и геометрический смысл) Слабое и сильное неравенства Морса и теорема Морса об индексе (формулировка) План доказательства

Лекция 7. Евклидова структура в пространствах внешних форм и свойства оператора *.
Евклидова структура в пространствах внешних форм Пространство внешних форм и базис в нем Скалярное произведение в пространстве форм Оператор * Явная формула оператора * на векторах ортонормированного базиса Оператор * сохраняет скалярное произведение **a = (-1)^k a, где a - k-форма Скалярное произведение (*a, b), где a - k-форма и b - n - k-форма a, b - k-формы, тогда a ^ *b = (a, b) Геометрическая интерпретация оператора * Некоторые дифференциальные операторы на многообразиях Оператор, сопряженный к оператору внешнего дифференцирования Оператор Лапласа-Бельтрами

Лекция 8. Свойства оператора Лапласа-Бельтрами и оператора Виттена.
Оператор Лапласа-Бельтрами Свойства оператора Лапласа-Бельтрами (формулировка) Свойства оператора Лапласа-Бельтрами (доказательство 1-3) Свойства оператора Лапласа-Бельтрами (доказательство 4) Свойства оператора Лапласа-Бельтрами (доказательство 5) Свойства оператора Лапласа-Бельтрами (доказательство 6) Оператор Виттена Свойства оператора Виттена

Лекция 9. Переход к доказательству неравенства Морса.
Напоминание Утверждение о представлении оператора Виттена Доказательство (начало) Доказательство (введенный оператор R - оператор нулевого порядка) Переход к доказательству неравенства Морса Ввод римановой метрики Оператор Виттена в окрестности каждой критической точки Применение теоремы об осцилляторном приближении к оператору Виттена Локальное утверждение об осцилляторном приближении Глобальное утверждение об осцилляторном приближении

Лекция 10. Финальная часть доказательства неравенства Морса.
Напоминание Количество нулевых собственных чисел оператора Виттена с точностью до о(h) Действие оператора R на форму alpha Слабое неравенство Морса Сильные неравенства Морса Дополнительное соображение Заключительные замечания