Список всех тем лекций

Семинар 1. Метрические и нормированные пространства.
План занятия Метрические пространства Примеры дискретных пространств Примеры классических функциональных пространств Важные геометрические понятия (описать все закрытые и все замкнутые множества) Сходимость в метрическом пространстве Фундаментальная последовательность Полное метрическое пространство (в дискретном пространстве описать все фундаментальные последовательности ) Задача 3 Задача 4 Задача 5 Предельная точка Точка прикосновения, изолированная точка Замыкание множества (замкнутое множество) Рассуждение Коши (неполное пространство из полного) Всюду плотное множество и нигде не плотное множество Сепарабельное пространство (сепарабельное пространство) (несепарабельное пространство)

Семинар 2. Отображения метрических пространств.
Определения Свойства полных метрических пространств Теорема 1 Теорема 2 Теорема 3 Теорема о пополнении метрических пространств Задачи для самостоятельного решения

Семинар 3. Нормирование пространства.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) Задача 7 Нормирование пространства (определение) Пример Задача 8 Полное нормированное пространство (банахово пространство)

Семинар 4. Базис в нормированном пространстве. Евклидовы и гильбертовы пространства.
Базис Гамеля Базис Шаудера Задача Резюме по изученным пространствам Евклидово пространство Гильбертово пространство Задача 1 Задача 2 Задача 3 Теорема Задача 4 Задачи для самостоятельного решения

Семинар 5. Ортонормированные системы в евклидовых пространствах. Ортонормированные базисы в гильбертовом пространстве.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) Определения Задача Теорема (Рисс-Фишер) Замкнутая система (определение) Полная система (определение) Отличие замкнутости от базиса Теорема Теорема Важное следствие из теоремы Примеры

Семинар 6. Компактные и предкомпактные множества в метрических пространствах.
Метрическая компактность (определение) Предкомпактное множество Определения Теорема (критерий Хаусдорфа) Критерии предкомпактности множеств в конкретных нормированных пространствах Равностепенно непрерывное множество Примеры Теорема Арцела-Асколи Примеры Теорема Рисса Задача Задачи для самостоятельного решения

Семинар 7. Линейные операторы и функционалы в нормированных пространствах.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) Определение линейного пространства над полем К Ограниченные операторы Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Неограниченный оператор (пример) Вспомогательные понятия Примеры

Семинар 8. Линейные операторы и функционалы в нормированных пространствах (продолжение).
Примеры функционалов в пространстве последовательностей Аналитическое задание функционалов (теорема 1) Теорема 2 Пример 1 Пример 2 Задачи для самостоятельного решения

Семинар 9. Рефлексивное пространство.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (сопряжённо-линейный изометрический изоморфизм) Пример 1 Теорема 2 Теорема (Хан, Банах) Определение рефлексивного пространства Сходимость в нормированных пространствах

Семинар 10. Сопряжённые операторы.
Сходимость в нормированных пространствах Примеры Банахов сопряжённый оператор Пример вычисления сопряжённого оператора Сопряжённый оператор в гильбертовом пространстве Задача 1 Задача 2 Задача 3 Самосопряжённый оператор Задача Задачи для самостоятельного решения

Семинар 11. Компактные операторы.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) Теорема Банаха–Штейнгауза Задача Теорема Хеллингера-Теплица Компактный оператор (определение) Свойства компактных операторов

Семинар 12. Обратные операторы.
Теорема 1 Теорема 2 Задача 1 Задача 2 Определение обратного оператора Примеры Свойства обратимых операторов Задачи для самостоятельного решения

Семинар 13. Спектр ограниченного оператора.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) Резольвентное множество оператора А Классификация спектра Свойства спектра ограниченного оператора Задача 1 (проектор в произвольном банаховом пространстве) Связь спектров оператора и сопряжённого оператора Подобный оператор (определение) Задача 3 Спектр нормальных операторов Теорема (спектр оператора умножения на функцию) (продолжение решения)

Семинар 14. Теорема Гильберта-Шмидта.
Задача 1 Задача 2 Определение спектрального радиуса оператора Задача Теорема Гильберта-Шмидта Задача Задача