Семинары по базовому курсу теории чисел на 1 курсе

Список всех тем лекций

Семинар 1. Свойства целых чисел.
Свойства делимости Аксиома индукции Задача 1 Задача 2 Задача 3 Числа Фибоначчи Биномиальные коэффициенты

Семинар 2. Свойства чисел Фибоначчи. Простые и составные числа.
Задачи (1-4) о свойствах чисел Фибоначчи (из домашнего задания) Свойства наибольшего общего делителя Простые и составные числа (из домашнего задания) (из домашнего задания) (теорема Ферма) Задача 8

Семинар 3. Решение диофантовых уравнений.
Задача 1 Задача 2 Решение диофантовых уравнений с двумя переменными Алгоритм решения уравнений Пример

Семинар 4. Алгоритм решения уравнений.
Алгоритм решения уравнений Утверждения (почему работает алгоритм решения уравнений)

Семинар 5. Решение задач.
Задача 1 Задача 2 (целая и дробная часть) (свойства целой части) Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8

Семинар 6. Простые числа.
Простые числа (определение) Задача 1 Асимптотический закон распределения простых чисел Задача 2 Задача 3 Задача 4

Семинар 7. Простые числа (продолжение).
Задача 1 Задача 2 Задача 3

Семинар 8. Мультипликативные функции.
Мультипликативные функции Функция Мёбиуса и формула обращения Задача 1 Число и сумма делителей Задача 2 Задача 3 Совершенные числа Задача 4 Функция Эйлера Задача 5 Теорема Эйлера и теорема Ферма Задача 6 с помощью сравнений

Семинар 9. Решение задач с применением теоремы Эйлера и малой теоремы Ферма. Решение полиномиальных сравнений.
Задача (применение малой теоремы Ферма) Задача 1 Задача 2 Теорема Вильсона Задача 3 Задача 4 Линейные многочлены Задача 5 Задача 6 Задача 7 Китайская теорема об остатках Задача 8 Задача 9 Полиномиальные сравнения (задача 10) Задача 11 Подъём решений Задача 12

Семинар 10. Квадратичные сравнения.
(решение сравнения) (решение сравнения) Квадратичные сравнения Символ Лежандра Свойства символа Лежандра (использование свойств символа Лежандра) (вычисление символа Лежандра) (определить разрешимо ли сравнение) (определить разрешимо ли сравнение) (найти все p, при которых разрешимо сравнение) бесконечно много) (найти все простые числа, при которых разрешимо сравнение) (доказать бесконечность множества простых чисел в пространстве) (найти все простые числа, делящие значение многочлена) (доказать, что существует бесконечное количество простых чисел вида 10m-1) Символы Якоби Пример (вычислить символ Лежандра) Первообразные корни

Семинар 11. Индексы. Цепные дроби.
Индексы Примеры (нахождение индексов) Цепные дроби Свойства Конечные цепные дроби (представить в виде цепной дроби) (решение с помощью рекуррентных соотношений) (решение с помощью рекуррентных соотношений) (доказать неравенство) Примеры (разложение иррационального числа в цепную дробь) Теорема Эйлера-Лагранжа Задача (разложение в цепную дробь) Задача (найти значение, зная цепную дробь) Задача (свойство периодических цепных дробей) Задача (разложение в цепную дробь корней из натуральных чисел) Утверждение (приложение цепных дробей к диофантовым уравнениям)