Курс лекций "Обыкновенные дифференциальные уравнения", читаемый на факультете ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова на 2 курсе в соответствии с программой по специальности "Прикладная математика и информатика"

Список всех тем лекций

Лекция 1. Основные понятия теории устойчивости.
Вступительное слово ко второй части курса "Дифференциальные уравнения" Устойчивость Геометрические свойства Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений Определение устойчивости по Ляпунову Неустойчивость Асимптотическая устойчивость Устойчивость по Ляпунову нулевого решения Редукция к исследованию устойчивости нулевого решения Вспомогательные леммы

Лекция 2. Исследование на устойчивость по Ляпунову ОДУ с постоянными коэффициентами.
Постановка задачи Вспомогательная лемма Теорема об асимптотической устойчивости Теорема об устойчивости Теорема о неустойчивости нулевого решения

Лекция 3. Исследование на устойчивость по первому приближению. Первый метод Ляпунова.
Первый метод Ляпунова Вспомогательная лемма Исследование существования решения Теорема об устойчивости по первому приближению Пример

Лекция 4. Исследование на устойчивость с помощью второго метода Ляпунова.
Положительно определённые функции Теорема о свойствах положительно определённых функций Примеры Функция Ляпунова Примеры Теорема об асимптотической устойчивости Примеры

Лекция 5. Исследование неустойчивости. Теорема Четаева.
Неустойчивость Теорема о неустойчивости Пример Анализ знаков в I и III четвери

Лекция 6. Точки покоя и их классификация.
Точки покоя Теорема об устойчивости и неустойчивости точек покоя Классификация точек покоя линейной системы на плоскости (n=2) Узел "Правило узла" Дикретический узел Вырожденный узел Седло Фокус Центр Классификация точек покоя нелинейной системы Пример

Лекция 7. Краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
Задача Коши Краевая задача Пример 1 (модель стационарного распределения температуры) (отличие в постановках задачи Коши и краевой задачи) (задача с параметром в коэффициентах) Постановка краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка Преобразование обыкновенного дифференциального уравнения к дивергентному виду Редукция к однородным краевым условиям Тождество Лагранжа Формула Грина

Лекция 8. Функция Грина краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.
Постановка задачи Функция Грина Теорема о существовании функции Грина Единственность функции Грина Пример (построение функции Грина)

Лекция 9. Использование функции Грина для решения неоднородного дифференциального уравнения и нелинейного дифференциального уравнения и соответствующих краевых задач.
Функция Грина Теорема Единственность решения Применение функции Грина к нелинейным дифференциальным уравнениям Единственность решения

Лекция 10. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка.
Дифференциальный оператор Задача Штурма-Лиувилля (свойство симметричности дифференциального оператора) (о собственных значениях) Теорема 3 (о локализации собственных значений) Пример (собственные значения собственной функции краевых задач) Теорема Стеклова

Лекция 11. Первые интегралы нормальных систем и их использование для решения линейных однородных уравнений в частных производных.
Постановка задачи Первый интеграл (определение) Производная функции в силу системы Лемма 1 Замечание (геометрический смысл первых интегралов) Независимые первые интегралы Теорема о неявной функции Теорема о существовании первых интегралов Уравнения в частных производных Решение уравнения в частных производных первого порядка Общее решение линейных однородных уравнений в частных производных (теорема)

Лекция 12. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.
Квазилинейное уравнение Решение уравнения в частных производных первого порядка Теорема Общее решение (замечание) Геометрический смысл Теорема (решение квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка) Задача Коши для квазилинейных уравнений в частных производных

Лекция 13. Вариационное исчисление. Основные понятия.
Вариационное исчисление Функционал Примеры Примеры функционалов Задача приближения функций, зависящих от двух переменных Вариация функционала Экстремум функционала Теорема (необходимые условия экстремума функционала)

Лекция 14. Исследование необходимого условия экстремума интегральных функционалов.
Основная лемма вариационного исчисления Уравнение Эйлера в задаче вариационного исчисления Теорема 1 Сглаживающий функционал (пример) Задача (необходимое условие экстремума функционала, содержащего производные высшего порядка) Теорема 2 Пример (сглаживание функции)

Лекция 15. Необходимое условие экстремума функционалов, зависящих от функции двух переменных.
Функционалы, зависящие от двух переменных Основная лемма вариационного исчисления в двумерном случае Необходимое условие экстремума функционалов, зависящих от функции двух переменных Основная теорема Краевая задача

Лекция 16. Вариационная задача на условный экстремум и её использование для исследования задачи Штурма-Лиувилля.
Вариационная задача на условный экстремум Теорема (необходимое условие условного экстремума) Вариационное свойство собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля Задача (условный экстремум)