Семинары по курсу "Дифференциальная геометрия и топология"

Список всех тем лекций

Семинар 1. Теория тензоров для линейных пространств.
Введение Тензор на векторном пространстве Примеры тензоров и их типов Задача (о биекции между линейными операторами и тензорами (1,1)) Тензорное умножение Базис в линейном пространстве T(p,q) Задача (о компонентах в разложении тензора) Задача (определение типа и поиск компонент тензора) Задача (вычисление компонент тензора после замены базиса) Задача (изменение базиса в двойственном пространстве) Пример (изменение компонент тензора после замены базиса) Обобщение задачи о биекции линейных операторов

Семинар 2. Тензорные поля на многообразии. Тензорные операции.
Тензор на многообразии Тензорный закон замены координат (на проверку тензорного закона преобразования) (на проверку тензорного закона преобразования) (проверка: является ли вектор градиент вектором) (проверка: образует ли набор частных производных тензор) Тензорные операции Задачи (нахождение свертки) Поднятие и опускание индекса Пример Задача (ортогональность градиента и поверхности уровня) Перестановка индексов Задача (проверка: является ли перестановка индексов тензорной операцией) Симметрические и кососимметрические тензоры Операции симметризации и альтернирования Задача (разложение тензора типа (0,2) в сумму симметрического и кососимметрического тензора) Размерность пространства Задача (про размерность пространства симметрических тензоров) Задача (про разложение тензоров при q>2)

Семинар 3. Дифференциальные формы.
Дифференциальные формы (понятие) Свойства дифференциальных форм (замена координат в дифференциальной форме) (вычисление дифференциала) (вычисление дифференциала) Преобразование форм при отображении Задача (вычисление ограничения формы) Задача (вычисление прообраза формы) Задача (о коммутировании взятия прообраза и дифференцирования формы)

Семинар 4. Интегрирование дифференциальных форм.
Интегрирование форм (вычисление интеграла от 1-формы) (вычисление интеграла от 1-формы) (вычисление интеграла от 2-формы) Формула Стокса Примеры Интегральная теорема Коши

Семинар 5. Векторные поля.
Связь дифференциальных форм и векторных полей Пример вычисление ротора и дивергенции Пример (вычисление потока) Коммутатор векторных полей Свойства коммутатора векторных полей вычисления коммутатора  вычисления коммутатора  Свойства ограничения коммутатора касательных полей к подмногообразию Формула Картана Выпрямление полей и форм

Семинар 6. Когомологии.
Понятие группы когомологий (вычисление когомологий прямой и окружности) (вычисление когомологии плоскости без точки) (вычисление когомологий плоскости без двух точек) Утверждение про гомотопность путей Пример вычисления одномерных когомологий сферы Пример вычисления когомологий проективной плоскости

Семинар 7. Степень отображения.
Степень отображения Пример гомотопных отображений на окружности Пример негомотопных отображений с равной степенью Пример вычисления степени отображения

Семинар 8. Степень отображения (продолжение).
Отображения сфер Задача (отображение сферы) Задача (на чётномерной сфере не существует векторного поля без нулей) Задача (есть отображение n-мерной сферы в n-мерную и никакая точка не переходит в диаметрально противоположную) Задача (есть отображение сферы в сферу, степень f нечётная) Задача (на поверхности Земли всегда найдутся диаметрально противоположные точки, в которых давление, температура одинаковы) Индекс особой точки векторного поля Примеры (найти чему равен индекс особых точек) Задача (векторное поле, невырожденная матрица)

Семинар 9. Символы Кристоффеля.
Возникновение символов Кристоффеля, дифференцирование тензора Формула, по которой символы Кристоффеля пересчитываются при замене координат Задача (связь символов Кристоффеля и тензора (1,2)) Задача (любой ли тензор (1,2) можно получить так же, как в задаче 1) Задача (набор символов Кристоффеля) Набор символов Кристоффеля (продолжение)

Семинар 10. Вычисление символов Кристоффеля.
Теорема о существовании символов Кристоффеля Вычисление символов Кристоффеля для плоскости с евклидовой метрикой Вычисление символов Кристоффеля для сферы Символы Кристоффеля для плоскости Лобачевского (вычисление свертки символа Кристоффеля)

Семинар 11. Решение уравнения параллельного переноса на поверхности.
Решение уравнения параллельного переноса в явном виде Задача (решение уравнения параллельного переноса на плоскости с евклидовой метрикой в полярной системе координат) Задача (решение уравнения параллельного переноса на сфере)

Семинар 12. Геодезические линии.
Решение уравнений геодезической линии Пример (решение уравнения геодезической линии на плоскости с евклидовой метрикой) Пример (как найти геодезические на сфере и на плоскости Лобачевского)

Семинар 13. Геодезические линии (продолжение).
Геодезические на плоскости Лобачевского Задача (применение теоремы о геодезической линии) Задача (о геодезических линиях) Теорема Клеро Задача (о геодезической линии) Параллельный перенос геодезической