Вторая часть курса "Уравнения с частными производными"

Список всех тем лекций

Лекция 1. Гармонические функции.
Гармонические функции (определение и примеры) Гармонические функции, зависящие от расстояния до фиксированной точки Следствия из формулы Стокса (1-я и 2-я формулы Грина) Ответ на вопрос об интеграле от гармонической функции на финитную Фундаментальное решение оператора Лапласа (определение и свойства) Представление функции в виде суммы трех потенциалов Обсуждение полученной формулы представления Поиск областей, где потенциалы являются гармоническими функциями Замечание о представлении гармонической функции Теоремы о среднем Теорема о среднем по сфере (первая теорема о среднем) Теорема о среднем по шару (вторая теорема о среднем) Третья теорема о среднем Теорема о том, что гармоническая функция всегда бесконечно дифференцируема

Лекция 2. Принцип максимума и лемма Вейля.
Напоминание Принцип максимума для гармонической функции Слабый принцип максимума Сильный принцип максимума Следствия Лемма Вейля Задача Коши для уравнения Лапласа Лемма Вейля (доказательство) Решение задачи Дирихле для оператора Лапласа с помощью леммы Вейля

Лекция 3. Функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа.
Теорема о последовательности гармонических функций Функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа Свойство симметричности функции Грина Задача нахождения гармонической функции в шаре Единственность функции Грина Интеграл Пуассона Выводы Неравенство Харнака

Лекция 4. Аналитичность гармонических функций. Теоремы Лиувилля.
Напоминание, фундаментальное решение и его использование Использование фундаментального решения Обращение теоремы о среднем Оценка производных гармонических функций Теорема об аналитичности гармонических функций Упражнение Первая теорема Лиувилля Вторая теорема Лиувилля

Лекция 5. Объемные потенциалы.
Применение теоремы Лиувилля для доказательства основной теоремы алгебры Теорема об устранимой особенности гармонических функций Объемные потенциалы Теорема о свойстве объемного потенциала Теорема о гладкости объемного потенциала Замечание Поведение объемного потенциала на бесконечности Свойства объемного потенциала Поверхностные потенциалы Теорема о поверхностном потенциале простого слоя

Лекция 6. Потенциал двойного слоя и внешняя задача Дирихле.
Напоминание Потенциал двойного слоя Свойство потенциала двойного слоя (поведение на бесконечности) Внешняя задача Дирихле Контрпример (решение не единственно, если отсутствует условие с поведением на бесконечности) Внешняя задача Дирихле при n = 2 Контрпример (решение не единственно, если отсутствует условие про ограниченность) Единственность классического решения внешней задачи Дирихле Уравнение теплопроводности Принцип максимума в ограниченной области

Лекция 7. Свойства решения уравнения теплопроводности.
Напоминание случай случай Упражнение Свойства решения уравнения теплопроводности Теорема: принцип максимума в ограниченной области Следствия (сравнение решений уравнений теплопроводности) Свойство решения неоднородного уравнения теплопроводности Первая начально-краевая задача для неоднородного уравнения теплопроводности Единственность классического решения первой начально-краевой задачи Непрерывная зависимость первой начально-краевой задачи от начальных данных Единственность решения в классе C2,1(w_tau) первой начально-краевой задачи

Лекция 8. Априорная оценка решения уравнения теплопроводности.
Теорема о стабилизации в бесконечном цилиндре Теорема единственности решения уравнения теплопроводности в цилиндре Априорная оценка решения уравнения теплопроводности

Лекция 9. Принцип максимума для решения уравнения теплопроводности в слое.
Напоминание (вывод априорной оценки) Следствие 1: Единственность решения в классе C2,1(w_tau) первой начально-краевой задачи Следствие 2: Единственность решения второй начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности из априорной оценки из априорной оценки Уравнение теплопроводности в неограниченной области Принцип максимума для решения уравнения теплопроводности в слое Следствие принципа максимума Оценка решения неоднородного уравнения теплопроводности в слое Следствие

Лекция 10. Задача Коши для уравнения теплопроводности.
Задача Коши для уравнения теплопроводности Постановка задачи Коши Обсуждение условий: пример неединственности Теорема единственности решения задачи Коши в классе ограниченных функций Теорема о непрерывной зависимости ограниченного решения задачи Коши от начальных условий Теорема: существование ограниченного решения задачи Коши для однородного уравнения Интеграл Пуассона как свёртка двух функций (функция Хевисайда) Доказательство теоремы

Лекция 11. Формула Пуассона и решение задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности.
Напоминание Замечания (из вида ограниченного решения) Теорема о стабилизации в слое Задача Коши для неоднородного уравнения теплопроводности Теорема о решении задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности Принцип Дюамеля Фундаментальное решение оператора теплопроводности (свойства)

Лекция 12. Существование решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Замечание о принципе максимума классического решения уравнения теплопроводности в цилиндре Метод Галёркина Определение обобщенного решения первой начально-краевой задачи Теорема: существование и единственность обобщенного решения для первой начально-краевой задачи Единственность обобщенного решения Лемма Гронуолла Доказательство леммы Гронуолла