Теория Морса
Математика
17 лекций
Теория Морса — предложенная изначально Марстоном Морсом теория, связывающая алгебро-топологические свойства многообразий и поведение гладких функций на нём в критических точках, которая получила потом значительное развитие и в других контекстах. В курсе будет рассмотрена классическая теория, ее приложение к геодезическим на римановых многообразиях и ее обобщения, например, на функции Морса-Ботта.
2024
лекции
спецкурс
Механико-математический факультет
Математика
спецкурс
Преподаватель
- 01:16:44Лекция 1. Введение. Основные определения. Невырожденные критические точки гладких функций на многообразиях
- 01:26:16Лекция 2. Гессиан функции в критической точке. Лемма Морса
- 01:33:47Лекция 3. Однопараметрические группы диффеоморфизмов. Описание топологии многообразия через морсовскую функцию на нем
- 01:27:55Лекция 4. Функции Морса и клеточная структура на многообразиях
- 01:08:23Лекция 5. Немного об алгебраической топологии
- 01:15:31Лекция 6. Примеры вычисления клеточных гомологий. n-мерное комплексное проективное пространство. Неравенства Морса
- 01:24:03Лекция 7. Неравенства Морса. Многообразия как клеточные пространства. Теорема Майера-Виеториса
- 01:19:27Лекция 8. Существование функции Морса
- 01:00:48Лекция 9. Градиентные потоки. Градиентоподобное векторное поле
- 01:16:29Лекция 10. Интегральные траектории градиентоподобного векторного поля и критические точки
- 01:19:50Лекция 11. Гомологии Морса-Флоера. Приложение теории Морса к геодезическим
- 01:10:11Лекция 12. Геодезические на римановом многообразии. Критические точки функционала энергии и длины. Гессиан функционала энергии. Двухпараметрическая вариация
- 01:23:15Лекция 13. Поля Якоби. Сопряженные точки на геодезической. Кратность сопряженных точек
- 01:27:23Лекция 14. Индекс гессиана функционала энергии на геодезической
- 01:09:54Лекция 15. Теорема об индексе гессиана в терминах числа сопряженных точек
- 01:29:36Лекция 16. Гомотопический тип пространства кусочно-гладких путей, соединяющих две точки на римановом многообразии
- 01:10:11Лекция 17. Гомотопический тип пространства непрерывных путей, соединяющих две точки на римановом многообразии. Теория Морса-Ботта