Список всех тем лекций

Семинар 1. Мера Жордана, измеримость. Определение двойного интеграла, его вычисление с помощью сведения к повторному интегралу.
Обзор курса Напоминание о построении интеграла Кратный интеграл для двух переменных Задача № 3902: вычисление двойного интеграла по определению Сведение двойного интеграла к повторному Задача № 3907: вычисление повторного интеграла Домашнее задание

Семинар 2. Решение задач на двойные интегралы. Замена переменных.
Введение Задача № 3916: сведение двойного интеграла к повторному Задача № 3918: сведение двойного интеграла к повторному Задача № 3922: сведение двойного интеграла к повторному Задача № 3924: перестановка пределов интегрирования Задача № 3929: перестановка пределов интегрирования Напоминание о замене переменной в обычном интеграле Замена переменных в двойном интеграле Задача № 3935: замена переменных в двойном интеграле Домашнее задание

Семинар 3. Полярная и обобщённая полярная замены переменных в двойном интеграле.
Разбор домашнего задания: задача № 3909 Напоминание о замене переменных в двойном интеграле Полярная замена переменных Задача № 3937: полярная замена переменных Задача № 3954: полярная замена переменных Метод Архимеда вычисления объёма шара Задача № 3967: немного обобщённая полярная замена переменных Обобщённая полярная замена переменных Задача № 3993: обобщённая полярная замена переменных Домашнее задание

Семинар 4. Решение задач на замену переменных. Тройной интеграл и его сведение к повторному интегралу.
Напоминание про обобщённую полярную замену переменных Задача № 3991: полярная замена переменных Задача № 3997: замена переменных Задача № 3999.1: замена переменных Кратный интеграл для трёх переменных Задача № 4082: перестановка пределов интегрирования Домашнее задание

Семинар 5. Перестановка порядка интегрирования и сферическая замена переменных в тройном интеграле.
Разбор домашнего задания: задача № 4081 Разбор домашнего задания: задача № 4083 Разбор домашнего задания: задача № 3994 Задача: перестановка пределов интегрирования Сферическая замена переменных Домашнее задание

Семинар 6. Цилиндрическая и обобщённая сферическая замены переменных. Центр масс.
Разбор домашнего задания: задача № 4088 Разбор домашнего задания: задача № 4089 (а) Цилиндрическая замена переменных Обобщённая сферическая замена переменных Задача № 4116: обобщённая сферическая замена переменных Задача № 4118: обобщённая сферическая замена переменных Центр масс Задача № 4054: центр масс Домашнее задание

Семинар 7. Центр масс. Момент инерции.
Центр масс системы точек Центр масс множества с заданной мерой Задача № 2506: вторая теорема Гульдена Объём тора Задача № 4133: тройной интеграл для нахождения центра масс Момент инерции Задача № 4151: теорема Гюйгенса-Штейнера Задача № 4144: момент инерции эллипсоида Домашнее задание

Семинар 8. Потенциал поля тяготения. Несобственные двойные и тройные интегралы.
Разбор домашнего задания: задача № 4068 Разбор домашнего задания: задача № 4059 Потенциал поля тяготения Задача № 4155: потенциал поля тяготения однородного шара Несобственные двойные и тройные интегралы Задача № 4161: сходимость несобственного двойного интеграла Парадокс покраски фигуры с бесконечной площадью Задача № 4164: сходимость несобственного двойного интеграла Домашнее задание

Семинар 9. Решение задач на несобственные интегралы. Многократные интегралы.
Задача № 4175: вычисление интеграла Эйлера-Пуассона Задача № 4181: сходимость несобственного двойного интеграла Задача № 4195: сходимость несобственного тройного интеграла Многократные интегралы Задача № 4202: перестановка интегралов в многократном интеграле (а): вычисление среднего квадрата расстояния от начала координат в n-мерном кубе Задача № 4211: вычисление объёма n-мерного шара Домашнее задание

Семинар 10. Решение задач на многократные интегралы. Объёмы n-мерных тел.
Разбор домашнего задания: задача № 4184 Разбор домашнего задания: задача № 4163 Разбор домашнего задания: задача № 4167 Разбор домашнего задания: задача № 4211 Интересные факты про тела в n-мерных пространствах Задача № 4209: вычисление объёма n-мерной пирамиды Ещё один подход к нахождению объёма n-мерной пирамиды Нахождение объёма n-мерного октаэдра Задача № 4214: перестановка интегралов в многократном интеграле Задача № 4216: формула Дирихле Домашнее задание

Семинар 11. Кривая. Криволинейный интеграл 1-го рода.
Разбор домашнего задания: задача № 4220 Разбор домашнего задания: задача № 4216 Разбор домашнего задания: задача № 4215 Определение кривой Кривая Пеано Длина кривой Криволинейный интеграл 1-го рода Задача № 4222: вычисление криволинейного интеграла 1-го рода Домашнее задание

Семинар 12. Решение задач на криволинейные интегралы. Криволинейный интеграл 2-го рода.
Напоминание о кривой Напоминание о криволинейном интеграле 1-го рода Задача № 4225: вычисление криволинейного интеграла 1-го рода Задача № 4238: вычисление криволинейного интеграла 1-го рода с помощью симметрии Задача № 4240: вычисление криволинейного интеграла 1-го рода Криволинейный интеграл 2-го рода Задача № 4248: вычисление криволинейного интеграла 2-го рода Полный дифференциал и независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования для потенциального поля Задача № 4258: вычисление криволинейного интеграла 2-го рода с помощью полного дифференциала Задача № 4258: вычисление криволинейного интеграла 2-го рода с помощью полного дифференциала Пример, иллюстрирующий разрыв потенциального поля Домашнее задание

Семинар 13. Криволинейный интеграл 2-го рода в 3-мерном пространстве.
Разбор домашнего задания: задача № 4262 Разбор домашнего задания: задача № 4272 Разбор контрольной: задача № 1 Разбор контрольной: задача № 2 Разбор контрольной: задача № 3 Разбор контрольной: задача № 4 Разбор контрольной: задача № 5 Задача № 4279: вычисление криволинейного интеграла 2-го рода Задача № 4282: вычисление криволинейного интеграла 2-го рода Задача № 4290: нахождение полного дифференциала Задача № 4293: вычисление работы силы тяжести вблизи земли Домашнее задание

Семинар 14. Формула Грина. Гармонические функции.
Формула Грина Задача № 4298: вычисление криволинейного интеграла 2-го рода с помощью формулы Грина Задача № 4307: вычисление криволинейного интеграла 2-го рода с помощью формулы Грина Вычисление площади с помощью формулы Грина Задача № 4309: вычисление площади с помощью формулы Грина Задача № 4323: интегрирование косинуса угла между фиксированным направлением и внешней нормалью при обходе контура Гармонические функции Задача № 4331: критерий гармонической функции Домашнее задание

Семинар 15. Решение задач на гармонические функции. Площадь поверхности.
Разбор домашнего задания: задача № 4332 Задача № 4333: единственность гармонической функции с заданными значениями на границе области Разбор домашнего задания: задача № 4325 Задача № 4336: теорема о среднем для гармонической функции Задача № 4339: поток жидкости через контур, стоки, истоки Задача из олимпиады: несимметричность дзета-функции относительно y=x Сапог Шварца  Определение площади поверхности

Семинар 16. Поверхностный интеграл 1-го рода.
Напоминание про сапог Шварца и площадь поверхности Определение поверхностного интеграла 1-го рода Задача № 4349: вычисление поверхностного интеграла 1-го рода Задача № 4343: вычисление поверхностного интеграла 1-го рода Задача № 4344: вычисление поверхностного интеграла 1-го рода Задача № 4351: формула Пуассона Задача № 4353: момент инерции сферы Домашнее задание

Семинар 17. 1-я теорема Гульдина. Поверхностный интеграл 2-го рода.
Разбор домашнего задания: задача № 4352.2 Разбор домашнего задания: задача № 4337 Разбор домашнего задания: задача № 4361 Об объёме кольца, вырезанного из шара Разбор домашнего задания: задача № 4340 Задача № 2505: первая теорема Гульдина Задача: вычисление площади поверхности тора Определение поверхностного интеграла 2-го рода Домашнее задание

Семинар 18. Решение задач на поверхностный интеграл 2-го рода.
Напоминание про поверхностный интеграл 2-го рода Связь поверхностного интеграла 2-го рода с двойным интегралом Задача № 1: вычисление поверхностного интеграла 2-го рода Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода Задача № 2: вычисление поверхностного интеграла 2-го рода Задача № 3: вычисление поверхностного интеграла 2-го рода Домашнее задание

Семинар 19. Формула Гаусса-Остроградского.
Разбор домашнего задания: задача № 4365 Разбор домашнего задания: задача № 4364 Разбор домашнего задания: задача № 4366 Формула Гаусса-Остроградского Задача № 4376: применение формулы Гаусса-Остроградского Оператор набла Задача № 4380: применение формулы Гаусса-Остроградского Задача № 4382: применение формулы Гаусса-Остроградского Задача № 4385.1: вычисление объёма тора с помощью формулы Гаусса-Остроградского Домашнее задание

Семинар 20. Решение задач на формулу Гаусса-Остроградского. Гармонические функции в пространстве.
Разбор домашнего задания: задача № 4383 Разбор домашнего задания: задача № 4384 Разбор домашнего задания: задача № 119 Задача № 4392: интеграл Гаусса Определение гармонической функции в пространстве Задача № 4393: следствия из формулы Гаусса-Остроградского Домашнее задание

Семинар 21. Формула Стокса.
Формула Стокса Потенциальность векторного поля с точки зрения формулы Стокса Инвариантность ротора при ортогональной замене координат Инвариантность градиента при ортогональной замене координат Задача № 4367: применение формулы Стокса Задача № 4371: применение формулы Стокса Задача № 4373: применение формулы Стокса Физический смысл ротора Задача № 4440: физический смысл ротора Домашнее задание

Семинар 22. Решение задач на формулу Стокса и элементы теории поля.
Разбор домашнего задания: задача № 4395 Разбор домашнего задания: задача № 4399 Разбор домашнего задания: задача № 4398 Разбор домашнего задания: задача № 4374 (изменённая): применение формулы Стокса Напоминание терминологии Задача № 4422: физический смысл дивергенции Напоминание физического смысла ротора, градиента Задача № 4451: уравнение неразрывности (жидкости) Обобщение интегральных формул на многомерные пространства Домашнее задание

Семинар 23. Дифференциальные формы и обобщённая формула Стокса. Тригонометрические ряды Фурье.
Обобщение интегральных формул на многомерные пространства Задача: вычисление площади поверхности n-мерного тора Обобщение интегральных формул на многомерные пространства (продолжение) Интересные факты про тела в n-мерных пространствах Ряды Фурье Задача: разложение в ряд Фурье

Семинар 24. Сходимость тригонометрических рядов Фурье. Разложения по косинусам и синусам кратных дуг.
Разбор домашнего задания: задача № 4433 Разбор домашнего задания: задача № 4451 Разбор домашнего задания: задача № 14.19 Сходимость ряда Фурье к функции, которая его породила Задача № 14.50: разложение в ряд Фурье Разложение функции по синусам или косинусам кратных дуг (углов) Задача № 14.33: разложение в ряд Фурье по косинусам кратных дуг Домашнее задание

Семинар 25. Тригонометрические ряды Фурье: тождество Парсеваля, связь между коэффициентами для функции и для её производной.
Тождество Парсеваля Связь коэффициентов Фурье функции и её первообразной Задача № 14.64: разложение в ряд Фурье и от 6 Задача № 14.31: разложение в ряд Фурье Задача № 14.81: разложение в ряд Фурье Домашнее задание

Семинар 26. Вычисления сумм рядов с помощью тригонометрического ряда Фурье. Пример Колмогорова. Размерность и мера Хаусдорфа.
Разбор домашнего задания: задача № 14.57 (б, в) Доработанный пример Колмогорова всюду расходящегося ряда Фурье Размерность Хаусдорфа