Список всех тем лекций

Лекция 1. Кратные интегралы.
Обзор курса и литературы Вводные понятия для кратного интеграла Определение кратного интеграла Свойства кратного интеграла

Лекция 2. Интегралы по измеримому множеству.
Кратный интеграл как аддитивная функция Неопределённый кратный интеграл Свойства неопределённого кратного интеграла Определение измеримости по Жордану Критерий измеримости по Жордану Свойства измеримых множеств Определение интеграла по измеримому множеству Свойства интеграла по измеримому множеству Теорема о мере измеримого множества

Лекция 3. Обобщение кратного интеграла.
Напоминание о материале прошлой лекции Обобщение кратного интеграла Суммы Дарбу Достаточное условие интегрируемости функции через суммы Дарбу по Лебегу Достаточное условие интегрируемости непрерывной почти всюду и ограниченной функции

Лекция 4. Обобщение кратного интеграла. Теорема Фубини.
Напоминание о материале прошлой лекции Определение интегрируемости функции в регулярном смысле Необходимое условие интегрируемости функции в регулярном смысле Достаточное условие непрерывности функции почти всюду Класс интегрируемых по Риману функций Обобщение интегрируемости функции по измеримому множеству Обобщение неопределённого кратного интеграла Теорема Фубини

Лекция 5. Теорема об интегрируемости.
Доказательство теоремы Замена переменных Вспомогательные утверждения Теорема о замене переменной (формулировка) Вспомогательные утверждения Доказательство (интегрируемость) Ответы на вопросы Вспомогательные утверждения

Лекция 6. Теорема о замене переменной.
Повторение Вспомогательные утверждения Лемма о равномерной дифференцируемости Лемма (интеграл от якобиана равен мере образа) Идея доказательства (равенство интегралов)

Лекция 7. Теорема о замене переменной. Несобственный интеграл.
Теорема о замене переменной (доказательство равенства интегралов) Теорема о замене переменной (для произвольного множества) Следствия Исчерпание множества Свойства Теорема (модуль несобственно интегрируемой функции несобственно интегрируем)

Лекция 8. Дифференциальные формы.
Критерий интегрируемости в несобственном смысле Вводные задачи Кривые Теорема о существовании разбиения единицы Дифференциальные формы

Лекция 9. Интеграл от формы по многообразию. Потенциал.
Дифференциальная форма в касательном пространстве Интеграл от дифференциальной формы на многообразии Потенциал Пример Теорема Теоремы о потенциальном поле

Лекция 10. Многообразие с краем. Теорема о разбиении единицы.
Многообразие с краем Примеры Теорема о разбиении единицы

Лекция 11. Поверхности. k-формы.
Повторение Задачи, связанные с поверхностями Определения форм k-формы Теорема о коммутировании переноса и дифференциала

Лекция 12. Дифференциал и интеграл на касательном многообразии. Градиент, дивергенция, ротор.
Повторение Теорема (перенос дифференциала равен дифференциалу переноса) Дифференциал на касательном многообразии Интеграл от дифференциальной формы степени m Интеграл от произвольной формы Корректность определения Свойства интеграла от произвольной формы Случай формы на многообразии в пространстве R3 (градиент, дивергенция, ротор) Теорема (градиент — ортогональный инвариант)

Лекция 13. Формула Гаусса-Остроградского. Теорема Стокса.
Доказательство теоремы (градиент — ортогональный инвариант) Теорема (дивергенция и ротор — ортогональные инварианты) Теорема (формула Гаусса — Остроградского) Теорема Стокса Интеграл I рода

Лекция 14. Теорема Стокса (общий случай).
Интеграл I рода (повторение) Сведение интеграла II рода к интегралу I рода Теорема Стокса (общий случай) Вывод формул с помощью теоремы Стокса

Лекция 15. Потенциальное поле. Теорема Пуанкаре. Ряды Фурье (начало).
Повторение Теорема Связь точной и замкнутой формы поле поле Соленоидальное поле Теоремы Теорема Пуанкаре Степенные ряды (повторение) Теорема Неравенство Бесселя

Лекция 16. Сходимость ряда Фурье. Гильбертовы пространства.
Теорема о сходимости ряда Фурье Замкнутые и полные системы Теорема (расширенный критерий) Гильбертовы пространства (примеры) и коэффициентов Фурье элементов L2

Лекция 17. Свертка функций.
Пространства интегрируемых периодичных функций Свертка функций Свойства свертки Свертка с дельта-функцией Дельта-образная последовательность Пример Теорема Вейерштрасса

Лекция 18. Утверждения о рядах Фурье.
Повторение Замкнутые и полные системы Утверждения о рядах Фурье непрерывной периодической функции Теорема о стремлении к нулю коэффициентов Фурье интегрируемой периодической функции Теорема (оценка коэффициентов Фурье) Коэффициенты Фурье функции ограниченной вариации

Лекция 19. Теоремы о рядах Фурье. Ядро Дирихле.
Полнота тригонометрической системы Повторение Теорема (ряд Фурье функции со сдвигом) Теорема (ряд Фурье свертки двух функций) Теорема (ряд Фурье интеграла) Теоремы Ядро Дирихле

Лекция 20. Принцип локализации Римана. Признаки Дини и Жордана (случай рядов).
Повторение Теорема (принцип локализации Римана) Замечания Теорема об оценке частичных сумм ряда Фурье Критерий сходимости ряда Фурье в точке Следствия Признак Жордана

Лекция 21. Ядро Фейера. Операция свертки.
Повторение Ядро Фейера Многочлены Фейера Операция свертки Теорема об аппроксимативной единице Пример

Лекция 22. Интеграл Фурье. Принцип локализации Римана. Признак Дини (случай интегралов).
Интеграл Фурье Теорема о непрерывности коэффициентов Фурье Теорема о стремлении коэффициентов Фурье к 0 Интеграл на интервале [0,A] Принцип локализации Римана Теорема Признак Дини Признак Жордана

Лекция 23. Признак Жордана. Обратное преобразование Фурье.
Повторение Следствия из признака Дини Признак Жордана (доказательство) Главное значение интеграла Интеграл Фурье в смысле главного значения Прямое и обратное преобразование Фурье Теоремы

Лекция 24. Интегральное преобразование Фурье (продолжение).
Повторение Свойства преобразования Фурье Теоремы об обратном интегральном преобразовании Фурье Лемма Теорема (оценка интегрального преобразования Фурье) Теорема Примеры

Лекция 25. Приложения преобразования Фурье.
Повторение Преобразование Фурье от свертки Преобразование Фурье для уравнения колебаний Преобразование Фурье для уравнения теплопроводности

Лекция 26. Приложения преобразования Фурье. Преобразование суммы ряда.
Повторение Приближенное значение суммы ряда (постановка задачи) Преобразование суммы ряда Разложение подынтегральной функции в ряд Фурье Преобразование суммы ряда (продолжение) Теорема Пример