Страница курса: http://halgebra.math.msu.su/wi...

Список всех тем лекций

Семинар 1. Векторные пространства, линейная независимость.
Задачник к семинарским занятиям Пример нестандартного векторного пространства Задача №34.7(а) Задача для самостоятельного решения Задача №34.3(а) Задача №34.3(г) Задача №34.4(а) Расширения полей

Семинар 2. Примеры подпространств. Преобразование координат при замене базиса. Применения формулы Грассмана.
Задача №34.8(з) Задача №34.10(а) Задача №35.3(б) Задача №35.3(г) Задача №35.10(д) Применения формулы Грассмана Расположение подпространств в конечномерном пространстве

Семинар 3. Линейная независимость подпространств, прямые суммы, проекции на слагаемые.
Задача №35.3(ж) Задача про симметрическую матрицу Двойное отношение четвёрки прямых на плоскости Найти инвариант для задания тройки подпространств Задача №35.26 Задача №35.17(б) Задача №35.18 Задача №35.22

Семинар 4. Ядро линейной функции. Задание подпространства однородной системой линейных уравнений.
Задача №35.24 Задача №35.27 Задача №35.25 Задача №35.17(а) Задача №36.13 Пример Задача №35.16(а)

Семинар 5. Нахождение базиса суммы и пересечения подпространств.
Задача №36.9(в) Задача №36.16 Задача №36.17(б,в) Кратная интерполяция Задача №35.15(а)

Семинар 6. Связь инъективности и сюръективности. Квазиобратная матрица. Нахождение матрицы линейного оператора.
Задача №36.2(в) Задача №36.2(б) Квазиобратная матрица Задача №39.15(в) Задача №39.15(м) Задача №39.19(б)

Семинар 7. Инвариантные подпространства .Вычисление коэффициентов характеристического многочлена. Вычисление собственных значений и нахождение собственных векторов.
Задача №39.13 Вывести из условия Im(A*) ≅ (Im A)*, что ранг матрицы A по строкам равен её рангу по столбцам Задача №40.22 Задача №40.5 Вычисление коэффициентов характеристического многочлена Задача №40.15(б) Задача №40.16(г)

Семинар 8. Коммутирующие семейства линейных операторов. Нахождение корневых подпространств. Корневое разложение инвариантного подпространства.
Задача №40.25 и -1 Задача №40.8(а) Задача №40.8(б) Задача №40.35(а) Корневое разложение инвариантного подпространства

Семинар 9. Нахождение жордановой нормальной формы и жорданова базиса.
Задача №40.38 Задача №40.27 Задача №40.29 Задача №40.33 Доказать, что для любого семейства коммутирующих диагонализуемых операторов существует базис, в котором матрицы всех этих операторов диагональны Приведение к жордановой нормальной форме Задача №41.1(е)

Семинар 10. Приложения ЖНФ: критерий нильпотентности в терминах собственных значений, вычисление циркулянта, оценка снизу размерности централизатора матрицы.
Задача №41.5 Задача №41.7 Задача №41.17 Задача №41.8 Задача №15.3 Задача №41.13

Семинар 11. Извлечение корней из матриц. Вычисление значений функций от матриц.
Начало решения Задача №41.45 Продолжение решения Задача №41.20 Извлечение корней из матриц Вычисление значений многочленов и аналитических функций от линейных операторов и матриц

Семинар 12. Примеры вычисления многочлена и экспоненты от матрицы. Билинейные функции, их матрицы. Классификация билинейных функций ранга 1.
Вычисление значений многочленов от матриц Вычисление значений аналитических функций от матриц и  №37.2 (а) Классификация билинейных функций с точностью до эквивалентности

Семинар 13. Симметрические билинейные и квадратичные функции, поляризация. Приведение к каноническому виду алгоритмом Лагранжа и методом Якоби.
Задача №37.32(б) Задача №37.32(а) Задача №37.28 Задача №38.16(а) Задача №38.18(а) Задача №38.18(н) Приведение квадратичной билинейной функции к каноническому виду Задача №38.6(а)

Семинар 14. Эквивалентность квадратичных форм. Проверка положительной или отрицательной определенности квадратичной функции.
Задача №38.29 Задача №38.33 Задача №38.19(а) Задача №38.17(а) Задача №38.22(а) Задача №38.11(б) Задача №38.14(а) Нормальный вид квадратичных функций над полем вычетов по простому модулю

Семинар 15. Нахождение ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора, угла между вектором и подпространством. Ортогонализация системы векторов. Свойства определителя Грама.
Задача №38.21 Задача №38.24 Задача №38.30 Задача №43.38(а) Задача №43.15(а) Задача №43.25(а) Задача №43.25(г)

Семинар 16. Углы между векторами, количество векторов с попарными углами π/3. Ортогональные операторы, их собственные значения, ортогональность собственных подпространств. Приведение ортогонального оператора к каноническому виду.
Задача №43.11 Задача №43.12 Задача №43.39 Задача №46.3 Ортогональные операторы, их собственные значения, ортогональность собственных подпространств Приведение ортогонального оператора к каноническому виду

Семинар 17. Сопряжённый оператор. Симметрические операторы. Приведение симметрического оператора к каноническому виду.
Задача №46.12 Задача о системе векторов с попарно тупыми углами Сопряжённый оператор Задача №44.4 Симметрические операторы, ортогональность собственных подпространств Приведение квадратичной функции к главным осям Задача №45.19(г)

Семинар 18. Положительно определённые симметрические операторы, извлечение квадратного корня. Полярное разложение линейного оператора.
Задача №45.9 Задача №45.18 Положительно определённые симметрические операторы Извлечение квадратного корня из симметрического оператора Полярное разложение линейного оператора Задача: найти полярное разложение линейного оператора

Семинар 19. Критические точки квадратичной функции на единичной сфере в евклидовом пространстве. Аффинные пространства: задание плоскостей, барицентрические координаты.
Задача №45.15 Критические точки квадратичной функции на единичной сфере в евклидовом пространстве и собственные векторы симметрического оператора Задание плоскостей в аффинном пространстве разными способами Задача №49.10(а) Барицентрические линейные комбинации точек и барицентрические координаты в аффинном пространстве

Семинар 20. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве. Проведение через точку прямой, пересекающей две плоскости.
Проверка формул для собственных значений симметрического оператора Задача №49.23 Задача №49.16(б) Задача №49.20(а)

Семинар 21. Матрица расстояний между точками евклидова пространства. Вычисление расстояния между плоскостями.
Задача №49.18 Матрица расстояний между точками евклидова пространства Задача №51.2(а) Задача №51.14(а)

Семинар 22. Аффинные отображения. Аффинные преобразования. Геометрическое описание движений евклидова пространства.
Задача №49.27(а) Задача №49.24 Задача №51.19(а) Геометрическое описание движений 2-мерного и 3-мерного евклидова пространства Задача №51.24(б) Задача: геометрическое описание движения в 3-мерном пространстве

Семинар 23. Приведение квадратичной функции к каноническому виду и к главным осям. Аффинная и метрическая классификация вещественных квадрик.
Задача №51.21 Задача №49.28 Задача №49.33(а) Приведение квадратичной функции к каноническому виду и к главным осям Аффинная и метрическая классификация вещественных квадрик Задача №52.20(а)

Семинар 24. Вычисление значений и компонент тензоров в разных базисах. Разложимость тензоров в тензорное произведение.
Задача: геометрическое описание движения в 3-мерном пространстве Задача №47.3(а) Задача №47.5 Задача №47.1(а) Задача №47.1(д)

Семинар 25. Тензоры и линейные операторы. Свёртка тензоров. Тензорное произведение линейных операторов, его след.
Задача №47.3(е) Задача: тензор det не разложим в тензорное произведение тензоров меньшей валентности Задача №47.9(а) Задача №47.13(а) Задача №47.15(а) Тензоры и линейные операторы Задача №47.18(а)

Семинар 26. Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду с использованием внешнего умножения.
Задача №47.16(б) Матрица двойственного метрического тензора Приведение кососимметрической билинейной функции к каноническому виду с использованием внешнего умножения Задача №37.33(б)