Это курс, появившийся на мехмате относительно недавно, призван познакомить слушателей с основами алгебраической топологии. Основная часть курса - начала теории гомотопий.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Основные определения теории множеств.
Программа курса Рекомендуемая литература Элементы теории множеств Построение равномощных множеств Несвязное объединение Формулировка теоремы Кантора

Лекция 2. Теорема Цермело.
Напоминание прошлой лекции Определение вполне упорядоченного множества Теорема Цермело Лемма о вполне упорядоченных множествах Метрика Определение топологии

Лекция 3. Топологии.
Напоминание прошлой лекции Примеры топологий Классификация точек Определение точек прикосновения по Гейне Определение предела Непрерывные отображения Гомеоморфизмы и гомеоморфные пространства Теорема о непрерывности

Лекция 4. Хаусдорфовы пространства.
Напоминание прошлой лекции Теорема о направленных пределах Определение хаусдорфова пространства Теорема о хаусдорфовости метрического пространства Свойства хаусдорфового пространства Аксиома Колмогорова Теорема о связи метрического и нормального пространств Теорема Урысона Теорема о непрерывности метрики Примеры хаусдорфовых, но не регулярных пространств Плоскость Немыцкого

Лекция 5. Теорема Урысона. Компактность.
Теорема Урысона Контрольный вопрос Разбиение единицы Теорема Титце-Урысона Компактность Локальная компактность Определение паракомпактного пространства

Лекция 6. Компакты и метризуемые пространства.
Повторение прошлой лекции Теорема о компактности подмножества Теорема о связи хаусдорфовости, паракомпактности и нормальности Теорема, обратная к теореме о компактности подмножества Предложение о отображении компакта Теорема о гомеоморфизме компакта Метризуемые пространства Теорема о метризуемости нормального пространства со счетной базой Лемма о счетном произведении метризуемых пространств

Лекция 7. Теорема Урысона о метризуемости и теорема Тихонова.
Повторение прошлой лекции Теорема Урысона о метризуемости Теорема Тихонова Связное топологическое пространство

Лекция 8. Гомотопные пути.
Гомотопность путей Лемма о гомотопии произведения двух путей Утверждение об изоморфности двух классов петель в линейно связном пространстве Функториальные свойства

Лекция 9. Функториальные свойства. Накрывающее пространство.
Функториальные свойства Накрывающее пространство Примеры накрывающих пространств Лемма о поднятии пути Лемма о поднятии гомотопии Формулировка теоремы о мономорфизме

Лекция 10. Теорема о связи отображения, накрытия и поднятия.
Лемма об открытости и замкнутости отображения в связное и локально связное пространство Теорема о поднятии гомотопии и следствия из неё Замечание о сопряженных подгруппах Теорема о связи отображения, накрытия и поднятия Пример Определение количества листов накрытия

Лекция 11. Категория накрывающих пространств.
Категория накрывающих пространств Определение изоморфизма накрывающих пространств Теорема об изоморфизме двух сопряженных подгрупп Пример групп автоморфизмов над окружностью Определение универсального накрытия

Лекция 12. Теорема о существовании накрытия.
Теорема об изоморфности автоморфизма и нормализатора стабилизатора Теорема о существовании накрытия Построение накрытия по подгруппе фундаментальной группы

Лекция 13. Графы.
Теорема Борсука-Улама Определение Теорема о фундаментальной группе графа Определение деревьев

Лекция 14. Теорема ван Кампена.
Теорема ван Кампена Теорема о стягиваемости дерева Любая подгруппа свободной группы свободна