Страница курса: http://math.phys.msu.ru/Educat...

Список всех тем лекций

Лекция 1. Мера и интеграл Лебега.
Описание курса Мера и интеграл Лебега Элементарное множество Теорема 1 Мера элементарного множества Лемма 1 Свойства меры элементарных множеств Лебегова мера плоских множеств, внешняя мера Утверждение Теорема 3 Измеримые множества Утверждение Теорема 4 Лемма 2 Теорема 5 Следствие теоремы 5 Лемма 3 Теорема 6

Лекция 2. Измеримые функции.
Теорема 7 Теорема 8 Следствие теоремы 8 Замечание (полнота меры) Случай бесконечной меры Непрерывность меры Следствие Измеримые функции Борелевские множества Определение измеримой функции Лемма Эквивалентное определение измеримой функции Теорема 2 Теорема 3 Теорема 4 Эквивалентные функции Выполнение условия "почти всюду" Теорема 5 Теорема 4'

Лекция 3. Теория множеств.
Основные понятия Бесконечное множество Взаимно-однозначное соответствие Пример 1 Равномощные множества Замечание Пример 3 Пример 4 Пример 5 Теорема Кантора-Бернштейна Мощность континуум Счетные множества Лемма 1 Лемма 2 Не более чем счетное множество Теорема 1 Сравнение мощностей Теорема Теорема Кантора Некоторые выводы из теории меры

Лекция 4. Теория множеств (продолжение). Отношение эквивалентности.
Множество Кантора Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Пример 5 Пример 6 Отношение на множестве Отношение эквивалентности Теорема Теорема 6 Сходимость по мере Теорема 7 Теорема 8

Лекция 5. Построение интеграла Лебега.
Простая функция Теорема 1 Теорема 2 Замечание Интеграл Лебега от простых функций Лемма Замечание про повторные ряды Доказательство леммы Свойства интеграла Лебега от простой функции Общее определение интеграла Лебега Свойства интеграла Лебега Следствие из пятого свойства Остальные свойства интеграла Лебега

Лекция 6. Свойства интеграла Лебега.
Сигма-аддитивность интеграла Лебега Теорема 4 Абсолютная непрерывность интеграла Лебега Связь между интегралами Римана и Лебега Предельный переход под знаком интеграла Лебега Теорема Беппо-Леви Следствие из теоремы Беппо-Леви Лемма Фату

Лекция 7. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры.
Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры Определение интегрируемой функции Связь интегралов Римана и Лебега на отрезке Несобственные и условно сходящиеся интегралы Пространство Лебега Лемма Норма Определение Неравенство Гельдера Неравенство Минковского Определение Соотношения между пространствами

Лекция 8. Метрические пространства. Часть 1.
Замечание к теореме Лебега Замечание к лемме Фату Замечание к неравенству Гельдера Замечание 1 Замечание 2 Метрические пространства Примеры Сходимость Утверждение Фундаментальная последовательность Утверждение Открытый и замкнутый шар Открытое множество Замкнутое множество Внутренняя точка множества Эквивалентное определение открытого множества Граничная точка множества Предельная точка множества Точка касания Изолированная точка Лемма о топологии Следствие Примеры Замыкание Свойства замыкания

Лекция 9. Задачи по теме "Метрические пространства".
Свойства замыкания Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Пример 5 Пример 6: расстояние от точки до множества Пример 7: расстояние между множествами Граничная точка множества Изолированная точка множества Внешняя точка множества Пример 8 Утверждение Пример Утверждение Пример метрического пространства Полнота метрического пространства

Лекция 10. Метрические пространства. Часть 2.
Неравенство четырехугольника Следствие (непрерывность расстояния) Эквивалентное определение замыкания Топологически связное пространство Плотные множества Всюду плотное множество Примеры Нигде не плотное множество Сепарабельное метрическое пространство Полное метрическое пространство Утверждение Изометрия метрических пространств Лемма Теорема Пополнение метрического пространства Теорема

Лекция 11. Свойства полных метрических пространств.
Теорема о вложенных шарах Теорема Бэра о категориях Определение Теорема 5 Неподвижная точка Сжимающее отображение Утверждение Принцип сжимающих отображений Следствие Непрерывное отображение Прообраз множества Непрерывная функция Теорема Следствие

Лекция 12. Контрпримеры к теоремам о полных метрических пространствах.
Контрпример к теореме о вложенных шарах Контрпример к теореме о неподвижной точке Примеры Понятие сепарабельности Примеры последовательностей Следствие из теоремы о сжимающих отображениях

Лекция 13. Топологические пространства.
Определение топологического пространства Примеры Окрестность точки Утверждение Лемма 1 База топологии Замечание Пример Замечание Теорема 1: критерий базы Теорема 2 Примеры Локальная база Пример Отделимое метрическое пространство Утверждение Следствие Замкнутое множество Замыкание множества Примеры Утверждение

Лекция 14. Топологические пространства. Банаховы пространства.
Теорема 3 Пример Фундаментальная система окрестностей Теорема 5 Утверждение Банаховы пространства, норма Нормированное пространство Утверждение Утверждение Определение банахова пространства Примеры Эквивалентные нормы Линейные операторы в нормированных пространствах Норма линейного оператора Утверждение Лемма 1 Лемма 2 Теорема 1

Лекция 15. Линейные функционалы.
Линейные функционалы Типы сходимости Примеры линейных функционалов Некоторые свойства линейных функционалов

Лекция 16. Теоремы Хана-Банаха.
Линейные функционалы Сопряженное пространство Утверждение Сильная, слабая и *-слабая сходимости Ряды в банаховом пространстве Теорема Теорема Хана-Банаха (вещественный вариант) Замечание Теорема Хана-Банаха (комплексный вариант) Следствия из теорем Хана-Банаха (Теорема 3) Теорема 4 Теорема 5 Теорема 6

Лекция 17. Теорема об открытом отображении.
Открытое отображение Лемма 1 Лемма 2 Теорема Теорема об обратном отображении Теорема о замкнутом графике Теоремы Банаха - Штейнгауза

Лекция 18. Конкретные сопряжённые пространства.
Теорема Второе сопряжённое пространство Транспонированный оператор Нерефлексивность некоторых банаховых пространств

Лекция 19. Нерефлексивность некоторых банаховых пространств.
Нерефлексивность некоторых банаховых пространств Теорема Утверждение Теорема Равномерно выпуклые банаховы пространства

Лекция 20. Спектральная теория линейных операторов в банаховых пространствах.
Банахова алгебра Обратимость элементов банаховой алгебры Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Теорема 1 Резольвента и спектр Непрерывность резольвенты Свойства резольвенты, спектра Резольвентные уравнения Интеграл Бохнера

Лекция 21. Функции от оператора.
Интеграл Данфорда Теорема Пример Существование обратного элемента Лемма об отображении спектра Спектральный радиус элемента Теорема Вычисление операторных норм

Лекция 22. Гильбертовы пространства.
Примеры функций элементов банаховой алгебры Спектральное разложение, соответствующее замкнутым компонентам спектра Основные понятия Гильбертово пространство (определение) Леви

Лекция 23. Замкнутые и полные ортонормированные системы . Базис.
Неравенство Коши-Буняковского (дополнение) Замкнутая ортонормированная система Теорема 1 Полная ортонормированная система Теорема 2 Теорема Риса-Фреше