Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в функциональный анализ. Основные понятия.
Литература по курсу История об исследовательской монографии Стефана Банаха История развития и применения курса функционального анализа История Стефана Банаха Основные группы вопросов Определение топологического пространства Определение метрического пространства Определение открытого шара в метрическом пространстве Определение открытого множества Важный пример метрического пространства Определение изометричности метрических пространств Формулировка Обсуждение Доказательство Продолжение обсуждения теоремы Определение нормированного пространства Пример нормированного пространства Обсуждение линейного метрического пространства Комментарий к примеру Что будет на следующей лекции

Лекция 2. Основные понятия и начальные теоремы.
Что было в прошлый раз Определение евклидова пространства Получение нормы из скалярного произведения Доказательство неравенства Коши-Буняковского Связь метрики, нормы и скалярного произведения Определение банахова и гильбертова пространств Классический список Что с ними нужно уметь делать Определение сепарабельного топологического пространства Ещё несколько слов о примерах Пример неевклидовой нормы (не порождаемой скалярным произведением) Формулировка Обсуждение Формулировка Доказательство Обсуждение Формулировка Определение нигде не плотного множества Доказательство Определение непрерывного отображения на метрическом и топологическом пространствах Формулировка Доказательство Обсуждение Задачи, использующие в своих доказательствах теорему Бэра Что будет на следующей лекции

Лекция 3. Компакты.
Определение компактного пространства Свойства компактов Определение вполне ограниченного в метрическом пространстве множества Метрическая энтропия Формулировка Доказательство Формулировка Доказательство Упражнения на тему "Компакты" Формулировка Доказательство Небольшой комментарий

Лекция 4. Компакты (продолжение). Компакты в конкретных пространствах.
Формулировка Доказательство теоремы Формулировка Доказательство Формулировка Обсуждение Формулировка Доказательство Пример Продолжение обсуждения примера Формулировка Доказательство Формулировка Доказательство Что будет в следующий раз

Лекция 5. Теоремы о неподвижных точках.
Теорема о сжимающем отображении Теорема Боля–Брауэра Теорема Шаудера о неподвижной точке Пример (интегральное уравнение) Упражнения Следствие теоремы Шаудера Анонс следующих лекций

Лекция 6. Линейные функционалы в банаховом пространстве.
Примеры Формулировка Доказательство Теорема Хана–Банаха теоремы Хана–Банаха теоремы Хана–Банаха

Лекция 7. Гильбертовы пространства. Базисы.
Функционал Минковского Теорема о разделении гиперплоскостью Следствие Первое и второе сопряженные пространства Следствие: существование пополнения Задача Банаха Гильбертово пространство Утверждение (min расстояния) Теорема о существовании ортогонального базиса

Лекция 8. Ортогональные проекции. Примеры базисов в гильбертовых пространствах.
Лемма о перпендикуляре Теорема об ортогональной проекции Следствие Теорема о существовании ОНБ Примеры базисов Многочлены Чебышева–Эрмита Комплексные экспоненты как базис

Лекция 9. Сопряженные пространства. Линейные операторы.
Теорема Рисса Пример Случай метрических компактов Непрерывный линейный оператор Теорема Банаха–Штейнгауза Теорема Банаха об обратном операторе Утверждения о непрерывности оператора и их эквивалентность Пример: непрерывный оператор на квадратично интегрируемых функциях с образом в непрерывных функциях

Лекция 10. Доказательство теоремы Банаха. Компактные операторы.
Напоминание Лемма и доказательство Доказательство теоремы Банаха об обратном операторе Теорема о замкнутом графике (об эквивалентности норм) Введение Свойства компактных операторов

Лекция 11. Сопряжённые операторы. Критерии компактности.
Примеры компактных операторов Сопряженные операторы Критерии компактности непрерывных линейных операторов Слабая и *-слабая сходимость

Лекция 12. Топология двойственности. Слабые топологии.
Повторение Топология двойственности Теорема о непрерывных функциях в топологии двойственности Слабая и *-слабая топологии Теорема Банаха–Алаоглу–Бурбаки Теорема о существовании *-слабой подпоследовательности Критерий компактности оператора в гильбертовом пространстве

Лекция 13. Спектральная теория. Введение.
Основные понятия Предложение об обратимости возмущения оператора Предложение о непустоте спектра Примеры явно вычисляемых спектров Оператор умножения на функцию и его спектр