Семинары по курсу "Классическая дифференциальная геометрия" для студентов второго курса отделения математики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Список всех тем лекций

Семинар 1. Общие понятия.
Учебники Рассуждения о курсе Функция, дифференцируемая в точке Достаточное условие дифференцируемости Теорема об обратной функции Теорема о неявной функции Теорема о паре квадратичных форм Предмет дифференциальной геометрии Что такое кривая? Формализация Свойство регулярности Параметризованная кривая Гладкая параметризованная кривая Другой способ задания кривых Задание кривых как решения дифференциальных уравнений

Семинар 2. Кривизна кривой.
Разбор домашнего задания Кривизна кривой Натуральный параметр Различия в терминологии Кривизна окружности Репер Френе Формулы Френе Кривизна со знаком Восстановление кривой по заданной функции кривизны Практическое применение Порядок сопряжения кривых Задача с окружностями Соприкасающаяся окружность кривой в данной точке Вершины кривой Эволюта кривой Эвольвента

Семинар 3. Эволюта и эвольвента.
Произвольная параметризация, эволюта для эллипса Эволюта для параболы Эвольвента окружности, практическое применение Разбор домашнего задания Кривые в пространстве Как увидеть нормали? Задача расчета кривизны кривой Винтовая линия

Семинар 4. Кривые: разбор задач.
Разбор домашнего задания Кривая как пересечение двух поверхностей Задача на формулу Френе Касательный и нормальный сферический образ кривой Касательный и нормальный сферический образ для винтовой линии Кривая в R^n Вектор, находящийся в линейной оболочке векторов Получение формул Плоскосимметричная матрица Кососимметричная матрица Гиперповерхности Запись вектора скорости

Семинар 5. Гиперповерхности.
Разбор домашнего задания Замкнутая кривая Условия регулярности для стандартной единичной сферы Нарушение регулярности Параметризация тора Параметрическое уравнение конкретной поверхности Важные классы поверхностей Коническая поверхность Обобщенный пример Вычисления на поверхностях Первая квадратичная форма поверхности Матрица перехода Что позволяет сделать первая квадратичная форма поверхности? Нахождение площади Расчет площади тора Задача на нахождение угла между координатными линиями

Семинар 6. Уравнение локсодромы.
Первая квадратичная форма поверхности (применение первой квадратичной формы поверхности) Уравнение локсодромы Стереографическая проекция

Семинар 7. Вторая квадратичная форма.
Задача про сферу, заключенную в цилиндре Метрика проекций Меркатора Выводы по задаче Вторая квадратичная форма Вывод формулы для второй квадратичной формы Выбор нормали Стандартные обозначения Геометрический смысл второй квадратичной формы: пример с нормальным сечением Две квадратичные формы Главные направления и главные кривизны Гауссова кривизна и средняя кривизна Смысл кривизны и главных направлений Вторая квадратичная форма для геликоида Скалярные произведения и их матрицы Как искать главные направления и кривизны?

Семинар 8. Асимптотическое направление в точке.
Разбор домашнего задания Формула для Гауссовой кривизны Асимптотическое направление в точке Обезьянье седло Асимптотические линии Линии кривизны Пример с геликоидом Диагональная метрика Интегрирование векторного поля Координатные линии Пример с эллипсоидом общего положения Триортогональное семейство поверхностей Описание всех минимальных поверхностей вращения

Семинар 9. Сфера и псевдосфера.
Разбор домашнего задания Теорема Дюпена Усреднение кривизн нормальных сечений (задача) Условия задач для домашнего задания Поверхности вращения гауссовой кривизны Решение дифференциального уравнения из домашнего задания Метрика сферы Псевдоевклидово пространство Ортогональные матрицы Сфера радиуса iR Расчеты Анализ скалярных произведений

Семинар 10. Линейные преобразования.
Задача про псевдосферу Метрики сферы Параллель между геометрией сферы и псевдосферы Дробно-линейные преобразования Свойства Комплексное линейное отображение Обобщенные окружности точек Сохранение симметричных точек Отображение единичного круга на верхнюю полуплоскость Формула для длины окружности в метрике Лобачевского Расчеты Радиус Лобачевского

Семинар 11. Доказательство теоремы Пифагора.
Разбор домашнего задания Формула для расстояния с логарифмом двойного отношения Расчет расстояния Задача про площадь круга Метрика Лобачевского в верхней полуплоскости Расчеты Доказательство теоремы Пифагора Расчеты Треугольник на сфере Общий треугольник

Семинар 12. Символы Кристоффеля.
Разбор вопросов студентов Символы Кристоффеля Выражение через первую квадратичную форму Где встречаются символы Кристоффеля? Гауссова кривизна не зависит от второй квадратичной формы Символы Кристоффеля для метрики Лобачевского в верхней полуплоскости Диагональная матрица Геодезическая на поверхности Смысл геодезических Касательная составляющая Уравнение геодезической Геодезическая зависит от метрики Лобачевского Интегрирование уравнения Первый интеграл уравнений геодезических Пример про кривую на гиперповерхности Как найти геодезическую кривизну? Касательная составляющая

Семинар 13. Параллельный перенос на поверхности.
Разбор домашнего задания Задача про круговой конус Параллельный перенос на поверхности Вычисление угла Две поверхности касаются по кривой Уравнение параллельного переноса Выводы Параллельный перенос в метрике Лобачевского верхней полуплоскости Параллельное удлинение вектора Запись в виде матрицы - вращение с постоянной скоростью