Первая часть курса "Уравнения с частными производными"

Список всех тем лекций

Лекция 1. Задача Коши для УрЧП.
Решение задачи Коши для ОДУ Линейное УрЧП 2-го порядка Определение гиперповерхности Векторное поле, трансверсальное поверхности уровня Задачи Коши для УрЧП Замена переменных в уравнении Замечание о коэффициентах исходного уравнения Замена переменных в начальных условиях Характеристические поверхности, их смысл Мультииндексы

Лекция 2. Теорема Коши-Ковалевской.
Напоминание, что было на последней лекции Выводы из доказанного Утверждение о нахождении производных в нуле больше 2 Выводы из доказанного Важные слова о теореме Коши-Ковалевской Доказательство единственности, повторение Пример задачи Коши с данными на характеристике Что можно сказать о решениях Об авторах Формулировка Доказательство единственности Доказательство существования Необходимые понятия (аналитическая функция, мажоранта) Примеры мажорант Рекомендуемые учебники

Лекция 3. Волновые уравнения. Энергетическое неравенство.
Приведение линейных уравнений с частными производных второго порядка к каноническому виду Тип уравнения в точке Волновые уравнения Задача Коши для волновых уравнений Волновое уравнение как второй закон Ньютона Решение задачи Коши Энергетическое неравенство Необходимые обозначения Энергетическое неравенство (формулировка) Энергетическое неравенство (доказательство) Формула интегрирования по частям Энергетическое неравенство (доказательство)

Лекция 4. Существование решения задачи Коши для R^3. Формула Кирхгофа.
Основные моменты предыдущей лекции Следствие из энергетического неравенства Доказательство теоремы Замечания по теореме Единственности решения задачи Коши Однородный случай Формулировка Доказательство Обсуждение формулы Кирхгофа Неоднородный случай Формулировка Доказательство

Лекция 5. Формула Пуассона. Обобщенные решения волнового уравнения.
Напоминание. Однородный случай Формула Пуассона Распространение звуковых волн в двумерном и трехмерном случае О конечной скорости распространения волны Вывести формулу Даламбера Обобщенные решения волнового уравнения Замечание к определениям Эквивалентность определений обобщенных решений волнового уравнения Формулировка Доказательство одного из пунктов (1а) Доказательство одного из пунктов (1б)

Лекция 6. Введение в теорию пространств Соболева.
Напоминание Доказательство одного из пунктов леммы (2а) Доказательство одного из пунктов леммы (2б) Доказательство теоремы 1=>2 Введение в теорию пространств Соболева, общие слова Понятие обобщенной производной в смысле Соболева Теорема: единственность обобщенной производной пример обобщенных производных в смысле Соболева пример обобщенных производных в смысле Соболева Пространства Соболева (определения) Задача Пространства Соболева (продолжение) с заданном скалярным произведением является гильбертовым пространством

Лекция 7. Неравенство Фридрихса, след функции.
Напоминание Пример для H1 Еще одно пространство Соболева (H^1)^0 Формула интегрирования по частям Неравенство Фридрихса Доказательство неравенства Фридрихса на (n-1)-мерной гладкой поверхности Теорема (формулировка) и возможные выводы из нее Теорема (доказательство) Вывод из теоремы и определение следа функции Утверждение: определение следа функции корректно

Лекция 8. Вариационный метод решения задачи Дирихле.
Задача Дирихле для оператора Лапласа Задача Дирихле с однородными краевыми условиями Теорема о существовании и единственности обобщенного решения обобщенной задачи Дирихле Общая задача Дирихле для уравнения Пуассона Теорема о существовании и единственности обобщенного решения общей задачи Дирихле Вариационный метод решения задачи Дирихле Основная теорема о функционале E (формулировка) Основная теорема о функционале E (доказательство о минимизирующей последовательности) Основная теорема о функционале E (доказательство о минимуме) Метод Ритца Теорема о последовательности Ритца (формулировка)

Лекция 9. Спектр задачи Дирихле для оператора Лапласа.
Напоминание Теорема Реллиха-Кондрашова Доказательство теоремы Собственные функции оператора Лапласа с краевыми условиями Дирихле Теорема о существовании линейного оператора с определенными свойствами Вполне непрерывный оператор Доказательство теоремы (первый пункт) Доказательство теоремы (второй пункт) Доказательство теоремы (третий пункт) О спектре оператора со свойствами Спектр задачи Дирихле для оператора Лапласа

Лекция 10. Первая начально-краевая задача для волнового уравнения.
Напоминание Первая начально-краевая задача для волнового уравнения Определения (задачи, классического решения) Замечание Определение обобщенного решения Теорема о единственности обобщенного решения Теорема существования обобщенного решения Доказательство сходимости ряда

Лекция 11. Доказательство теоремы о существовании обобщенного решения (окончание).
Напоминание (часть доказательства, кратко с прошлого раза) Конец доказательства теоремы о существовании обобщенного решения Пример классического решении методом Фурье

Лекция 12. Неравенство Пуанкаре.
Метод Ритца Теорема (о последовательности Ритца) Средние функции Дополнительные свойства усреднения Теорема 2 Неравенство Пуанкаре