Данный курс традиционно читается в 4 семестре для отделения математики механико-математического факультета, являясь связующим звеном между курсами математического анализа и функционального анализа.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Системы множеств.
Рекомендуемая литература Аксиома выбора Обозначения операций над множествами Примеры используемых в курсе тождеств для множеств Примеры Кольцо, алгебра Сигма-алгебра, дельта-алгебра Утверждение о пересечении колец из системы колец Теорема о минимальном кольце, содержащем систему множеств Лемма о дополнении конечного набора дизъюнктных множеств до большего множества Теорема о минимальном кольце, содержащем полукольцо Лемма о представлении множеств из полукольца объединениями некоторых попарно непересекающихся множеств

Лекция 2. Мера на полукольце.
Сигма-аддитивная мера на полукольце Оценка меры на полукольце Пример меры на полукольце Продолжение меры на минимальное кольцо Оценка сигма-аддитивной меры на кольце Внешние меры Лебега и Жордана

Лекция 3. Меры Лебега и Жордана.
Повторение прошлой лекции Теорема об оценках внешних мер Лебега и Жордана Продолжение мер по Лебегу и по Жордану Меры Лебега и Жордана Классические меры Лебега и Жордана Меры Лебега-Стилтьеса

Лекция 4. Непрерывность и полнота мер.
Дополнение прошлой лекции Сигма-аддитивная и сигма-конечная меры Лебега Борелевская сигма-алгебра Утверждение об измеримости любого открытого множества относительно сигма-конечной меры Лебега Мера Бореля Непрерывность мер Полнота мер

Лекция 5. Некоторые свойства измеримых множеств.
Теорема о существовании неизмеримого подмножества в любом измеримом относительно классической меры Лебега множестве положительной меры Структура измеримых по Лебегу множеств Множество, покрытое системой в смысле Витали Теорема Витали Теорема о структуре открытых множеств

Лекция 6. Измеримые функции.
Измеримая функция Эквивалентность функций Лемма об измеримости полных прообразов измеримой функции Теорема об измеримости полного прообраза измеримой и конечной функции на борелевских множествах Лемма об измеримости множества совпадений и множества несовпадений двух измеримых функций Теорема об измеримости композиции измеримой и непрерывной функций Теорема об измеримости пределов и точных граней последовательности измеримых функций Теорема об измеримости относительно классической меры Лебега производной непрерывной функции Комментарий о схожести курса с курсом теории вероятностей Сходимость по мере Единственность (с точностью до эквивалентности) предела по мере Теорема о сходимости по мере последовательности сумм членов сходящихся по мере последовательностей Пример особенности сходимости по мере

Лекция 7. Сходимость почти всюду.
Теорема о сходимости последовательности композиций непрерывной функции и членов сходящейся последовательности Фундаментальная по мере последовательность Критерий Коши сходимости последовательности по мере Сходимость почти всюду Пример существенности конечности меры Пример Риса Теорема Риса Теорема Егорова Теорема Лузина

Лекция 8. Интеграл Лебега. Часть 1.
Простая функция Сравнение с интегралом Римана Утверждение о корректности определения интеграла Лебега для простых функций Свойства интеграла Лебега для простых функций Интегрируемость по Лебегу Утверждение о совпадении интеграла Лебега для произвольных измеримых функций с интегралом Лебега для простых функций в классе простых функций Утверждение о выражении интеграла Лебега предела монотонно неубывающей последовательности через предел интегралов Лебега членов последовательности Лемма о существовании у измеримой неотрицательной функции сходящейся к ней монотонно неубывающей последовательности простых неотрицательных функций Следствие аддитивности

Лекция 9. Интеграл Лебега. Часть 2.
Утверждение об интегрируемости по Лебегу измеримой функции при интегрируемости по Лебегу модуля этой функции Утверждение об интегрируемости по Лебегу измеримой неотрицательной функции при интегрируемости по Лебегу её измеримой неотрицательной мажоранты Теорема о некоторых свойствах интеграла Лебега для измеримых функций Теорема о линейности (относительно умножения на число) интеграла Лебега Теорема о линейности (относительно сложения) интеграла Лебега Утверждение об интегрируемости по Лебегу измеримой функции при интегрируемости по Лебегу не меньшей по модулю функции Теорема Беппо-Леви Теорема Фату

Лекция 10. Интеграл Лебега. Часть 3.
Пример к теореме Фату Теорема Лебега Теорема о линейности (по множеству) интеграла Лебега Теорема об абсолютной непрерывности интеграла Лебега Неравенство Чебышёва Критерий интегрируемости по Лебегу на множестве конечной меры Теорема об интегрируемости по Лебегу интегрируемых по Риману на параллелепипеде функций Теорема об интегрируемости по Лебегу интегрируемых (несобственно) по Риману на полуинтервале неотрицательных функций Множество, положительное (отрицательное) относительно заряда

Лекция 11. Теорема Радона-Никодима.
Повторение прошлой лекции Лемма о существовании отрицательного подмножества отрицательного множества из сигма-алгебры Теорема о разложении Хана Пример неединственности разложения Хана Разложение Жордана Абсолютно непрерывный относительно меры заряд Лемма о получении заряда из двух мер Теорема Радона-Никодима

Лекция 12. Пространство Lp.
Лемма о взаимно сопряжённых числах Неравенство Гёльдера Пример Пространство Lp Одно из приложений теоремы вложения Теорема о полноте пространства Lp Теорема о представлении интеграла от p-ой степени функции в виде интеграла от функции распределения

Лекция 13. Абсолютно непрерывные функции.
Теорема о плотности множеств непрерывных функций и многочленов на отрезке Теорема о плотности множества непрерывных финитных функций на прямой Функции ограниченной вариации Свойства функций ограниченной вариации Абсолютно непрерывная на отрезке функция Некоторые свойства абсолютно непрерывных на отрезке функций

Лекция 14. N-свойство Лузина.
Утверждение об абсолютной непрерывности вариации абсолютно непрерывной функции Функция, обладающая N-свойством Лузина Лемма о представлениях множеств из классической лебеговской сигма-алгебры Критерий измеримости образа любого измеримого множества на отрезке Теорема об обладании абсолютно непрерывных функций N-свойством Лузина  Индикатриса Банаха Теорема об обладании индикатрисы Банаха функции, обладающей N-свойством Лузина, N-свойством Лузина Теорема Банаха-Зарецкого

Лекция 15. Интеграл Лебега с переменным верхним пределом.
Теорема об абсолютной непрерывности интеграла Лебега с переменным верхним пределом Лемма об оценке слабого типа. Обратная теорема. Точка плотности. Теорема о точках плотности измеримого множества на прямой. Теорема об интегрировании по частям в интеграле Лебега. Теорема о замене переменной в интеграле Лебега.

Лекция 16. Прямые произведения мер.
Прямое произведение полуколец Теорема о мере на прямом произведении полуколец Теорема о сигма-аддитивности произведения сигма-аддитивных мер Прямое произведение мер Сечение Две теоремы Фубини