Первая часть курса дифференциальной геометрии (вторая - "Дифференциальная геометрия и топология")

Список всех тем лекций

Лекция 1. Псевдоевклидово пространство.
Введение в курс Напоминание терминов из аналитической геометрии Псевдосфера Примеры псевдоевклидовых пространств Стереографическая проекция псевдосфер Понятие стереографической проекции в псевдоевклидовом пространстве Теорема №1 Теорема №2 Примеры геометрий

Лекция 2. Криволинейные координаты и риманова метрика.
Декартовы координаты Гладкая кривая Длина кривой Аналитические кривые Теорема Закон Кеплера Цилиндрические координаты в трехмерном пространстве Сферические координаты Общие понятия криволинейных координат в области евклидова пространства Координатные линии криволинейной системы координат Частные случаи k-мерные гладкие поверхности k-мерное глобальное многообразие Простейшие примеры поверхностей

Лекция 3. Римановы метрики и многообразия.
Повторение предыдущей лекции Пример сферических координат Римановы метрики и многообразия Длина кривой относительно криволинейных координат и относительно произвольной римановой метрики  Индуцированная риманова метрика на гладкой поверхности Римановы многообразия Примеры индуцированных метрик Задачи на дом

Лекция 4. Основные примеры римановых метрик. Группы изометрий римановых метрик.
Повторение предыдущей лекции Случай сферы Различные виды метрики Лобачевского Комментарий Сравнение метрики сферы и Лобачевского Комплексная запись метрик сферы и Лобачевского Следующая комплексная форма записей метрик Лобачевского Группы изометрий, или группы движений римановых метрик

Лекция 5. Группы изометрий римановых метрик.
Рассмотрение двух многообразий Рассмотрение всех изометрий на многообразии Конкретные примеры групп изометрий для некоторых метрик Группа изометрий евклидовой плоскости Группа изометрий псевдоевклидовой плоскости Группа изометрий двумерной сферы Изометрии метрик Лобачевского

Лекция 6. Метрика Лобачевского. Элементы теории плоских кривых.
Повторение предыдущей лекции Метрика Лобачевского Группа преобразований - матричный вид Теорема и её доказательство Метрика Лобачевского и ее свойства Общие понятия многообразий, заданные с помощью атласа Примеры многообразий: одномерное многообразие Элементы теории плоских кривых Формулы Френе: динамика движения материальной точки по плоской кривой

Лекция 7. Элементы теории пространственных кривых.
Формулы Френе: динамика движения материальной точки по плоской кривой Элементы теории пространственных кривых Понятие кривизны для плоской кривой Кривизна плоской кривой в произвольной параметризации Натуральное уравнение плоской кривой Примеры гладких многообразий Геометрический смысл теоремы о неявной функции

Лекция 8. Гладкие многообразия и подмногообразия.
Повторение предыдущей лекции Гладкое подмногообразие Некоторые примеры гладких многообразий Касательное пространство Следствия Погружения и вложения гладких многообразий

Лекция 9. Теорема Уитни о вложении гладких многообразий.
Погружения и вложения гладких многообразий Доказательство теоремы Уитни Классификация двумерных гладких поверхностей Классификация двумерных поверхностей и многообразий Гладкая триангуляция в двумерном многообразии Шаг №2 Шаг №3

Лекция 10. Теорема классификации двумерных поверхностей. Часть 1.
Теорема классификации двумерных поверхностей Операция упрощения и приведение к каноническому виду Шаг №1 Шаг №2 Приведение к одной вершине Лемма собирания квадратов Собирание коммутаторов Шаг №6 Отсутствие смешанной серии Шаг №8 Связанная сумма многообразий Исследование произведения квадратов Лемма

Лекция 11. Теорема классификации двумерных поверхностей. Часть 2.
Повторение предыдущей лекции Произведение двух квадратов Вклейка пленки Мёбиуса Бутылка Клейна Понятие вывернутой ручки Ориентируемость многообразий Гладкое погружение Окончательная формулировка теоремы классификации двумерных поверхностей Минимальная триангуляция Задачи

Лекция 12. Первая и вторая квадратичные формы поверхности.
Первая квадратичная форма поверхности Риманова метрика на гладкой поверхности Задание с помощью неявной функции Гиперповерхность в евклидовом пространстве, заданная параметрически Вторая квадратичная форма Инварианты пары форм Явный вид второй формы в подходящих локальных координатах на гиперповерхности Теория плоских сечений гиперповерхности Первая теорема Менье Нормальные сечения гиперповерхности Вторая теорема Менье Теорема Эйлера

Лекция 13. Гауссова и средняя кривизны двумерных поверхностей.
Гауссова кривизна двумерных поверхностей Средняя кривизна двумерных поверхностей Конкретные примеры минимальных поверхностей Гиперплоскость Мыльные пленки Геликоид Катеноид Минимальные и гармонические поверхности

Лекция 14. Алгебраические функции. Римановы поверхности алгебраических функций. Топология римановых поверхностей.
Сведения из комплексной геометрии Комплексный вариант теоремы о неявных функциях Когда риманова поверхность алгебраической функции является двумерным гладким подмногообразием в R4? Основные свойства алгебраических функций Риманова поверхность как область однозначности алгебраической функции Топология пополненной римановой поверхности

Лекция 15. Элементы теории Морса.
Определение функции Морса Функция Морса на многообразии Теорема существования функции Морса Критические точки Выбор направления прямой Заключение