Страница курса: http://halgebra.math.msu.su/wi...

Говорят, что задана категория, если задан класс объектов, которые могут быть множествами (а могут и не быть), и для каждых двух объектов задано множество морфизмов (стрелок) между этими объектами, которые могут являться (а могут и не являться) отображениями, сохраняющими некоторые свойства. Подобная общность позволяет, например, направить стрелки в противоположную сторону и получить категорию, двойственную к исходной. Кроме того, такая общность позволяет изучать сразу несколько категорий одновременно. Примерами категорий являются категория множеств, в которой морфизмы - это все отображения между множествами; категория групп, в которой морфизмы - это гомомоморфизмы групп; категория топологических пространств, в которой морфизмы - это непрерывные отображения. Частично упорядоченное множество - это тоже категория, объектами которой являются его элементы, а от элемента к элементу, большему или равному ему, существует стрелка. Теорию категорию можно считать следующим уровнем абстракции по сравнению с традиционной абстрактной алгеброй. Эта теория находит применение в самых различных областях математики, информатики и теоретической физики. В курсе будут рассматриваться следующие темы: категории, функторы, естественные преобразования, пределы и копределы, сопряжённые функторы, абелевы категории, моноидальные категории, заплетённые и симметрические моноидальные категории, монады и алгебры над ними, 2-категории и бикатегории.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Категория. Функтор.
Организационная информация Малые и большие множества Категория Композиция морфизмов Примеры категорий Категория как алгебраическая структура Двойственная категория Функторы Примеры Упражнение Унивалентный функтор Подкатегория

Лекция 2. Изоморфизм в категориях. Естественные преобразования функторов. Эквивалентность категорий. Лемма Йонеды.
Упражнение Изоморфизм в категориях Примеры Естественные преобразования функторов Гомоморфизмы представлений Упражнение Категория стрелок Категории запятой Представимый функтор Вложение Йонеды Теорема о вложении Йонеды Лемма Йонеды Доказательство теоремы

Лекция 3. Произведения и копроизведения.
Произведение Примеры Гомоморфизмы модулей Замечание о единственности произведения с точностью до изоморфизма Универсальный притягивающий объект Копроизведение в категории C Свободная группа Задание группы при помощи порождающих и определяющих соотношений Свободное произведение групп Модуль над ассоциативным кольцом с 1 Произведение в R-Mod Копроизведение в R-Mod Копроизведение в категории предпорядке Универсальный отталкивающий объект Нулевой объект

Лекция 4. Нулевой морфизм. (Ко)уравнители. Предел. Пулбэк.
Нулевой морфизм Тензорное произведение как копроизведение для ассоциативных коммутативных алгебр с 1 Уравнители Примеры Коуравнители Примеры Перенос топологии с одного множества на другое с помощью отображения множеств Предел Примеры Пулбэк Ядерная пара Целые p-адические числа (пример предела)

Лекция 5. Направленности. Ядро морфизма. Свойства коуниверсальных квадратов. Полнота в малом.
Организационная информация Обратный (проективный) предел Ядро морфизма Свойство пары коуниверсальных квадратов с общей стороной Коуниверсальный квадрат как функтор между категориями запятой Критерий полноты в малом категории Упражнения Критерий полноты в малом категории (доказательство) Сохраняющие, отражающие и создающие пределы функторы Пределы в категории Sets

Лекция 6. Пределы в категориях Top, R-Mod. Непрерывность функтора Hom. Пределы, зависящие от параметра.
Пределы в категориях Тор и R-Mod Непрерывность функтора Hom Бифунктор Соответствие между бифункторами и функторами в категорию функторов Покомпонентное вычисление пределов в категориях функторов (теорема) Равенство повторного предела двойному (теорема) План на ближайшие лекции

Лекция 7. Сопряженные функторы. Гомоморфизм графов. Пределы диаграмм как пределы функторов. Копредел. Универсальный квадрат.
Полнота категорий функторов в полную категорию Перестановка пределов Комментарий про графы Сопряженные функторы Примеры Ориентированный граф Гомоморфизм графов Категория графов Пределы диаграмм как пределы функторов Функтор сопоставления каждой категории двойственной к ней Копредел Примеры Универсальный квадрат (pushout)

Лекция 8. Копределы в категориях Sets, Top, R-Mod. Мономорфизмы и эпиморфизмы. Моно- и эпиморфизмы в категориях Sets, Top, Metr, R-Mod, Grp.
Копредел (повторение) Копределы в категориях Sets, Top, R-Mod Мономорфизмы и эпиморфизмы Мономорфизмы и эпиморфизмы в категории Sets Мономорфизмы и эпиморфизмы в категории Top Мономорфизмы и эпиморфизмы в категории Metr Мономорфизмы и эпиморфизмы в категории R-Mod Мономорфизмы и эпиморфизмы в категории Grp

Лекция 9. Подобъекты и факторобъекты. Пересечение подобъектов. Пулбэк с участием мономорфизма. Иерархия моно- и эпиморфизмов.
Эпиморфизмы в категории Grp (продолжение доказательства) Вложение целых чисел в рациональные как эпиморфизм Подобъекты и факторобъекты Пересечение подобъектов Пересечение подобъектов как предел Пересечение подобъектов в категориях Sets, Grp, R-Mod, Top Коуниверсальный квадрат с участием мономорфизма Регулярные, сильные и экстремальные моно- и эпиморфизмы Упражнение

Лекция 10. Связь между мономорфизмами в иерархии. Регулярные эпиморфизмы в категориях. Факторизационные структуры.
Повторение (регулярные, сильные и экстремальные мономорфизмы) Вложенность множества регулярных мономорфизмов в множество сильных мономорфизмов Вложенность сильных мономорфизмов в экстремальные мономорфизмы Условия, при которых множества сильных и экстремальных мономорфизмов совпадают Упражнение Регулярные эпиморфизмы в категориях множеств, колец и моноидов (теорема) Факторизационные структуры (системы)

Лекция 11. Факторизационная структура. Факторизационная лемма. Достаточные условия (ExtrEpi, Mono)-структурированности.
Замкнутость множества мономорфизмов (эпиморфизмов) относительно композиции Замкнутость множества сильных мономорфизмов относительно композиции Факторизационная структура (повторение) Примеры "Патологическая" факторизационная структура на Sets (пример) Теорема о категории с (Epi, RegMono)-факторизациями Факторизационная лемма Достаточные условия (ExtrEpi, Mono)-структурированности

Лекция 12. Малые в смысле подобъектов и факторобъектов категории. Достаточные условия (Epi, ExtrMono)-структурированности. Сопряженные функторы.
Пересечение подобъектов (повторение) Малые в смысле подобъектов и факторобъектов категории Факторизационная лемма (повторение) Достаточные условия (Epi, ExtrMono)-структурированности (постановка цели) Предложение о (Epi, ExtrMono)-диагонализируемой категории Достаточные условия (Epi, ExtrMono)-структурированности (теорема) Упражнение Упражнение Примеры

Лекция 13. Единица и коединица сопряжения. Треугольные тождества. Достаточные условия сопряжённости. Функтор с разными левым и правым сопряженными.
Сопряженные функторы (повторение) Единица и коединица сопряжения Единица и коединица сопряжения — естественные преобразования Выражение естественной биекции через единицу и коединицу сопряжения Коединица (единица) сопряжения — универсальный отталкивающий (притягивающий) объект в соответствующей категории запятой Треугольные тождества (теорема) Достаточные условия сопряженности (первая теорема) Достаточные условия сопряженности (вторая теорема) Комментарий о свободных группах Достаточные условия сопряженности (третья теорема) Функтор с разными левым и правым сопряженными

Лекция 14. Критерий эквивалентности категорий. (Ко)рефлексивные подкатегории, (ко)рефлекторы. Сохранение правыми сопряжёнными функторами пределов и мономорфизмов.
Эквивалентность категорий Критерий эквивалентности категорий Комментарий про сопряжение-эквивалентность (Ко)рефлективная подкатегория, (ко)рефлектор Следствие из критерия эквивалентности Скелет категории Правые сопряженные функторы сохраняют пределы и мономорфизмы (теорема)

Лекция 15. Универсум. Теорема Фрейда о сопряженном функторе. (Ко)порождающие множества объектов. Специальная теорема об универсальном отталкивающем объекте.
Универсум Гротендика Теорема об универсальном отталкивающем объекте Достаточные условия существования пределов в категории запятой Теорема Фрейда о сопряженном функторе Порождающие множества объектов Копорождающие множества объектов Специальная теорема об универсальном отталкивающем объекте

Лекция 16. Специальная теорема о сопряжённом функторе. Ab-категории. Нулевые морфизмы. Ядра, коядра.
Специальная теорема об универсальном отталкивающем объекте (повторение) Замечание о функторе, создающем малые пределы Специальная теорема о сопряженном функторе (формулировка) Лемма о подобъектах в категории запятой Специальная теорема о сопряженном функторе (доказательство) Ab-категории Нулевые морфизмы Теорема (условия, эквивалентные тому, что рассматриваемый объект является нулевым) Ядро и коядро Лемма

Лекция 17. Аддитивные категории. Аддитивные функторы. Абелевы категории. Точные последовательности. Точные функторы.
Лемма Прямая сумма (бипроизведение) Условия, эквивалентные существованию прямой суммы (теорема) Аддитивная категория Однозначное определение операции на hom-множествах через (ко)произведения и нулевой объект Аддитивные функторы Упражнение Свойства абелевых категорий Примеры абелевых категорий Точная последовательность Теорема Фрейда - Митчелла