Страница курса: https://fmmp.math.msu.ru/cours...

Страница курса: http://halgebra.math.msu.su/wi...

Список всех тем лекций

Лекция 1. Теория полей.
Вводное слово о курсе Поле Характеристика поля Факты о расширении полей Автоморфизм расширения полей

Лекция 2. Автоморфизмы расширений полей.
Теорема 1 Расширения Галуа

Лекция 3. Основная теорема теории Галуа.
Нормальное расширение Поле разложения многочлена Основная теорема теории Галуа Применение теоремы Решение алгебраических уравнений в радикалах

Лекция 4. Теорема Галуа (доказательство).
Теорема Галуа Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Лемма 4 Доказательство теоремы Решение общего уравнения степени n в радикалах

Лекция 5. Кольца, алгебры и модули.
Основные определения Модуль Примеры модулей Подмодуль Примеры

Лекция 6. Общие теоретико-модульные конструкции.
Прямая сумма Определение 2 Предложение 2 Примеры и свойства

Лекция 7. Свойства тензорного произведения.
Свойства тензорного произведения (продолжение) Универсальное свойство Тензорное произведение векторных пространств Пример (расширение скаляров) Полилинейные функции на векторных пространствах Тензорное произведение колец (алгебр) Структура колец (модулей)

Лекция 8. Нётерово кольцо.
Нётерово кольцо Теорема Гильберта о базисе идеалов Следствия из теоремы Кольца главных идеалов Структура модулей над кольцами главных идеалов

Лекция 9. Основная теорема о структуре конечно порожденных модулей над кольцом главных идеалов.
Предложение Лемма (про матрицы над кольцом главных идеалов) Основная теорема о структуре конечно порожденных модулей над кольцом главных идеалов Приложения теоремы

Лекция 10. Теория представлений.
Нормальная форма Фробениуса нормального оператора Линейное представление (понятие) Терминология Инвариантное подпространство Прямая сумма линейных представлений Приводимое представление Предложение 1 Теорема Гомоморфизм линейных представлений

Лекция 11. Тензорное произведение представлений групп.
Лемма Шура Применение леммы Шура Тензорное произведение представлений групп

Лекция 12. Конечномерные ассоциативные алгебры и их представления.
Основные определения Нильпотентные алгебры Задачи Лемма Радикал Стандартное скалярное умножение Теорема Лемма

Лекция 13. Структура полупростых алгебр.
Предложение 1 Полупростые алгебры (определение, примеры) Лемма 1, лемма 2 Предложение 2 Основные понятия Теорема Бёрнсайда

Лекция 14. Структура простых и полупростых алгебр.
Теорема Веддербёрна Теорема Веддербёрна-Артина Предложение 1 Представление групп с точки зрения ассоциативной алгебры

Лекция 15. Группы Ли и алгебры Ли.
Основные определения Примеры групп Ли Утверждение 1 Замечание Напоминание Примеры

Лекция 16. Свойства группы Ли.
Предложение 1 Необходимые определения Теорема 1 Пример Предложение 2 Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Коммутатор Теорема 2 Примеры

Лекция 17. Экспоненциальное отображение.
Экспоненциальное отображение Дифференциал Лемма 1 Лемма 2 Теорема Замечание Предложение 1 Предложение 2 Примеры Предложение 3 Линейные представления групп Ли Предложение 4

Лекция 18. Линейное представление алгебры Ли.
Линейное представление алгебры Ли Присоединенное представление алгебры Ли Теорема 1 Пример Теорема 2 Пример Следствие из теоремы 2 Предложение

Лекция 19. Линейные представления компактных групп Ли.
Компактная группа Ли Выпуклые множества Предложение Пример Замечание Вещественная форма

Лекция 20. Представления группы Ли Sl2(C) и sl2(C).
Вещественная форма Вейля Представления алгебры Ли Sl2(C) и sl2(C) Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Дифференциалы Пример (задача гармонического анализа на двумерной сфере)

Лекция 21. Универсальная обёртывающая алгебра.
Гармонический анализ на сфере Универсальная обёртывающая алгебра Утверждение Замечание Теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта

Лекция 22. Теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта. Алгебра Клиффорда.
Теорема Пуанкаре - Биркгофа - Витта (формулировка) Доказательство теоремы Алгебра Клиффорда Соотношения в алгебре Клиффорда

Лекция 23. Свойства алгебры Клиффорда. Спинорная группа.
Свойства алгебры Клиффорда Теорема 1 Теорема 2 Спинорное представление Спинорная группа Спинорная норма