Курс "Алгебра. Часть 2" читается на механико-математическом факультете МГУ в 3 семестре. Это - вторая часть курса алгебры, предназначенная только для отделения математики.

Страница курса: http://halgebra.math.msu.su/wi...

Список всех тем лекций

Лекция 1. Группы. Введение.
Введение Основные определения Примеры групп Циклические группы

Лекция 2. Группы. Смежные классы и теорема Лагранжа.
Задача (подгруппы конечной циклической группы) Задача (привести пример счётной коммутативной нециклической группы) Смежные классы и теорема Лагранжа Задача (доказать, что для бесконечной группы и произвольной подгруппы число левых смежных классов равно числу правых смежных классов) Задача (обратная теорема к теореме Лагранжа неверна) Нормальные подгруппы и теорема о гомоморфизме

Лекция 3. Группы автоморфизмов.
Теорема о гомоморфизме Пример Пример Группы автоморфизмов Внутренние автоморфизмы Примеры (центры групп) Классы сопряженности

Лекция 4. Классы сопряжённости в группах. Прямые произведения групп.
Классы сопряжённости группы подстановок Классы сопряжённости группы матриц Классы сопряжённости группы диэдра Классы сопряжённости группы Q8 Внешнее прямое произведение Внутреннее прямое произведение Примеры

Лекция 5. Свободные абелевы группы.
Разложение конечной циклической группы Определения Умножение элементов абелевых групп на произвольные целые числа Конечно порождённая абелева группа Свободная абелева группа Ранг Лемма Базис свободной абелевой группы Примеры Теорема

Лекция 6. Свободные абелевы группы (продолжение).
Подгруппы в свободной абелевой группе Целочисленные элементарные преобразования Диагональная матрица Предложение Теорема о согласованных базисах Инвариантные множители Универсальное свойство свободной абелевой группы Теорема Классификация конечных абелевых групп Примарная абелева группа

Лекция 7. Структура абелевых групп. Порождающие элементы.
Теорема Задача (классифицировать с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка 36) Задача (обратная теорема Лагранжа) Экспонента абелевой группы Предложение (любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля циклична) Теорема (как устроены все конечно порожденные абелевы группы) Порождающие элементы Предложение (системы порождающих в группе чётных подстановок) Порождающие в группе диэдра Порождающие групп Gl,Sl

Лекция 8. Коммутант.
Коммутант Замечание Пример (коммутант группы подстановок) Предложение (свойства коммутанта) Лемма (коммутант при гомоморфизме) Характеристическая подгруппа Свойство коммутанта Лемма Коммутант группы диэдра Коммутант группы Gl,Sl Разрешимые группы

Лекция 9. Разрешимые группы. Простые группы.
Разрешимая группа (определение, примеры) Производный ряд Свойства разрешимости групп Пример разрешимой матрицы Простые группы Расширение Классификация простых групп

Лекция 10. Простые группы. Действия групп.
Теорема (о простой группе) Группы Gln (f),Sln (f) Классификация конечных простых групп Действия групп Определения Примеры действий

Лекция 11. Действия групп.
Примеры действий Теорема Кэли Леммы Изоморфность Предложения (о действиях групп) Формула Бёрнсайда р-группы Теорема

Лекция 12. Теоремы Силова.
Лемма (р-группы) Теорема (р-группы) Основные определения Первая теорема Силова Вторая теорема Силова Третья теорема Силова Задачи

Лекция 13. Основные понятия теории представлений.
Третья теорема Силова Примеры Примеры представлений (о регулярном представлении) Мономиальное представление Теорема 1

Лекция 14. Полная приводимость представления.
Пример (знаковое представления симметрической группы) Пример (представление группы матриц) Пример (представление группы диэдра) Прямая сумма Полная приводимость (определение; примеры) Теорема Машке Инвариантные формы

Лекция 15. Одномерные представления групп. Представления абелевых групп.
Теорема Машке Задача Одномерные комплексные представления Задача (одномерные вещественные представления) Представления абелевых групп Задачи Анонс следующей лекции (лемма Шура и усреднение отображения)

Лекция 16. Лемма Шура и усреднение отображения. Характеры представлений.
Лемма Шура Следствие Характеры представлений

Лекция 17. Неприводимое комплексное представление конечных групп.
Характеры представлений Теорема - соотношение ортогональности для характеров Кратность вхождения Теорема Примеры

Лекция 18. Кольца и поля.
Представление G-S4 Основные определения и примеры Делители нуля Обратимые элементы Идемпотенты Групповая алгебра Гипотеза Капланского Поле (определение, примеры, характеристика) Идеал и факторкольца

Лекция 19. Идеал и факторкольца. Часть 1.
Идеал (определение) Как строить идеал Кольцо главных идеалов Некоммутативные кольца Теорема о гомоморфизме Гомоморфизм колец Теорема о гомоморфизме для колец

Лекция 20. Идеал и факторкольца. Часть 2.
Предложение 2 Задачи Расширение полей Предложение 4 Корни многочленов Минимальный многочлен Поле разложения многочлена

Лекция 21. Конечные поля.
Поле разложения многочлена (задача) Конечные поля Теорема 

Лекция 22. Алгебры с делением.
Следствие  Общая конструкция Подполя конечных полей (теорема) Задачи Тело (определение) Алгебра с делением (пример) Матричная реализация Вспомогательное утверждение Теорема Фробениуса Теорема Веддербёрна