Семинары по второй части курса "Уравнения с частными производными"

Список всех тем лекций

Семинар 1. Обобщенные функции.
Введение Пространство основных функций Примеры основных функций Примеры сходящихся последовательностей Пространство обобщенных функций Пример нелинейного функционала Линейная комбинация обобщенных функций Сходимость в пространстве обобщенных функций Регулярные обобщенные функции Дельта-функция Дирака Примеры дельта-образных последовательностей

Семинар 2. Операции над обобщенными функциями.
Повторение Умножение на бесконечно дифференцируемую функцию Пример Линейная замена переменной Примеры Дифференцирование Примеры Задача о дифференцировании разрывной функции Примеры Задача

Семинар 3. Фундаментальное решение дифференциального оператора.
Введение Фундаментальное решение дифференциального оператора Произведение обобщенной и бесконечно дифференцируемой функций (повторение) Решение однородного уравнения на обобщенных функциях Нахождение фундаментального решения Пример

Семинар 4. Пространства Соболева.
Обобщенная производная в смысле Соболева Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Пространства Соболева Неравенство Фридрихса Пример (из лекционного курса) (единичный шар) (шар заданного радиуса)

Семинар 5. Пространства Соболева (продолжение).
Повторение Задача (является ли функция элементов пространства Соболева) Пространство Соболева (случай n=1) Пример Задача Дирихле для оператора Лапласа

Семинар 6. Вариационная постановка задачи Дирихле и нахождение минимума функционала энергии.
Обобщенное решение задачи Дирихле Функционал энергии из задачника) из задачника) Задача 3

Семинар 7. Потенциалы.
Виды потенциалов Ньютонов потенциал Потенциал простого слоя Потенциал двойного слоя из задачника) из задачника) из задачника)

Семинар 8. Решение краевых задач с помощью потенциалов.
Вступление (нахождение объемного потенциала) Виды краевых задач Внутренняя задача Дирихле Комментарий про внешнюю задачу Дирихле Внутренняя задача Дирихле (продолжение) Внутренняя задача Дирихле (в круге) Внутренняя задача Неймана Внутренняя задача Неймана (в круге) Внешняя задача Дирихле

Семинар 9. Функция Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа.
Функция Грина Решение задачи Дирихле Построение функции Грина Метод отражений Задача (функция Грина на полуплоскости, решение задачи Дирихле)

Семинар 10. Функция Грина для областей на плоскости.
Построение функции Грина при наличии конформного отображения области в единичный круг Пример (функция Грина в четверти плоскости) (задача Дирихле в области, ограниченной окружностями) Задача 2