Современный математический аппарат физики, наряду с вопросами, традиционно излагаемыми в университетском курсе математики для физиков, включает также ряд разделов, существенно связанных с теорией меры и интеграла Лебега. Это, прежде всего, квантовая механика и квантовая теория поля, а также различные разделы физики, связанные с применением вероятностных методов. Изложение этих вопросов в ходе обычного курса математики затруднительно не только в силу нехватки времени, но и потому, что они требуют намного более абстрактного мышления, чем остальной курс.

Изложение в основном следует известному учебнику А.Н. Колмогорова С.В. Фомина "Введение в теорию функций и функциональный анализ", однако модифицирует его применительно к традициям и запросам теоретической физики.

Изложение строится так, чтобы курс был доступен сильным студентам-второкурсникам, прослушавшим теорию интеграла Римана и двойных и кратных интегралов в объеме курса физического факультета МГУ. Кроме студентов-второкурсников лекции могут представить интерес для студентов более старших курсов, а также для всех желающих, интересующихся математическим базисом квантовой механики.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение.
Вступление Понятие меры, понятие интеграла Римана. Понятие меры. Интегрируемость функций, пример неинтегрируемой по Риману функции. Основные недостатки интеграла Римана. Интегрирование в бесконечномерном пространстве. Площадь Жордана. Пример неквадрируемого множества. Идея построения интеграла Лебега. Свойства меры. Борелевская алгебра Свойства меры Лебега. Проблемы, приводящие к интегралу Лебега. О теории Лебега в квантовой механике. Литература курса.

Лекция 2. Построение меры Лебега.
Прямоугольные элементы площади. Теорема о мере элементарного множества. Лемма Гейне - Бореля. Доказательство теоремы. Мера объединения элементарных множеств. Верхняя мера Лебега. Множество, измеримое по Лебегу.

Лекция 3. Свойства меры Лебега.
Теорема о мере неперсекающихся множеств. Критерий измеримости множества. Борелевская алгебра. Доказательство счетной аддитивности меры Лебега. Свойство непрерывности меры. Свойство полноты меры. Пример функции, для которой нельзя составить меру Бореля. Мера некоторых промежутков. Интеграл Лебега - Стилтьеса (о вычислении случайных величин с помощью меры). Интегрирование по пространству C (непрерывных на сегменте функций). Бесконечная мера.

Лекция 4. Измеримые функции.
Измеримые функции. Арифметические операции над измеримыми функциями. Измеримость в случае двух функций. Разность и сумма измеримых функций. Квадрат измеримой функции. Произведений измеримых функций. Отношение измеримых функций. Предельный переход. Эквивалентность функций Измеримость почти всюду. Теорема Егорова. Виды сходимости измеримых функций.

Лекция 5. Свойства интеграла Лебега.
Понятие простой функции. Теорема о необходимом и достаточном условии измеримости функций. Понятие интеграла Лебега для простой функции. Свойства интеграла Лебега для простой функции. Понятие интеграла Лебега для произвольной измеримой функции. Свойства интегралов. Теоремы о свойствах аддитивности. Неравенства Чебышёва. Формулировка теоремы о неравенстве Чебышева.

Лекция 6. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
Теорема о равенстве нуле функции на множестве. Абсолютная непрерывность Предельный переход под знаком интеграла Лебега Теорема Лебега Теорема Леви Следствие теоремы Леви Теорема Фату

Лекция 7. Пространство функций L2.
Введение Сходимость в среднем Пространство L1 Доказательство полноты в L2 Постановка задачи Уравнение переноса жидкости

Лекция 8. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в движущейся среде.
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности в движущейся среде Предельные случаи Уравнение для среднего поля Уравнение Ито

Лекция 9. Формула Каца-Фейнмана.
Формула Каца- Фейнмана для переноса векторных полей Задача о переносе магнитного поля Уравнение для среднего поля Мультипликативный интеграл Вольтерра Формула Каца-Фейнмана для уравнения индукции Уравнение теплопроводности