Курс "Теория функций комплексного переменного", читающийся на физическом факультете МГУ.

Содержание курса:

1. Комплексные числа, функции комплексной переменной.
2. Непрерывность и дифференцируемость функции комплексной переменной. . Понятие аналитической функции комплексной переменной.
3. Интеграл от функции комплексной переменной, Интеграл типа Коши. Свойства интегралов.
4. Ряды аналитических функций. Степенные ряды.
5. Понятие аналитического продолжения. Элементарные функции комплексной переменной как аналитическое продолжение функций действительной переменной.
6. Ряд Лорана. Особые точки функций.
7. Вычеты. Основная теорема теории вычетов. Вычисление несобственных интегралов действительной переменной с помощью вычетов. Основная теорема высшей алгебры.
8. Конформные отображения. Основные функции, используемые при конформных отображениях. Некоторые применения конформных отображений.
9. Основные понятия операционного исчисления.
10. Метод перевала

Список всех тем лекций

Лекция 1. Комплексные числа.
История Понятие комплексного числа Первые свойства Правило умножения Понятие комплексной плоскости Равенство комплексных чисел и алгебраическая форма записи Комплексное сопряжение и деление Модуль и аргумент комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы записи Теорема и парадокс Умножение и деление в показательной форме Формула Муавра Извлечение корня Логические задачи

Лекция 2. Функции комплексной переменной.
Введение Неравенство треугольника Множества точек на комплексной плоскости Сходящиеся последовательности НИД сходимости Критерий Коши Неограниченно возрастающая последовательность Расширенная комплексная плоскость Понятие функции комплексной переменной Замкнутая область Обратная функция Константа и линейная функция Квадратичная функция Способы визуализации функции Многозначная функция и ветви Симметрии Дробно-линейная функция Функция Жуковского Периодическая экспонента Логарифм Степенная функция Показательная функция

Лекция 3. Непрерывность и дифференцируемость функции комплексной переменной.
Гиперболические функции Тригонометрические функции Обратные гиперболические функции Обратные тригонометрические функции Изолированная точка Непрерывность функции комплексной переменной Ограниченность Дифференцируемость функции комплексной переменной Теоремы Аналитическая функция Необходимые и достаточные условия аналитичности Альтернативные определения аналитичности и теоремы Следствия условий Коши-Римана

Лекция 4. Аналитические функции и криволинейные интегралы.
Следствия условий Коши-Римана Условия Коши-Римана для функции, записанной в полярных координатах и в показательном виде Свойства аналитических функций Восстановление аналитической функции Построение систем координат Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции Свойство постоянства растяжения Свойство сохранения углов Простейшие функции комплексной переменной Кусочно-гладкая и замкнутая кривая Криволинейные интегралы второго рода по кривой Замечания Свойства интеграла по кривой на комплексной плоскости Квадрируемость и односвязность Формула Грина Теорема Коши

Лекция 5. Интегрирование функции комплексной переменной.
Замечания и следствия теоремы Коши Аналитическая в замкнутой области функция Вторая теорема Коши Теорема Коши для многосвязной области Следствия теоремы Коши Неопределённый интеграл Теорема Понятие первообразной и связанные с ней свойства неопределённого интеграла Формула Ньютона-Лейбница Формула Коши-Адамара Деформация контура интегрирования Замечание Краевая задача Интегральная формула Коши Замечания Условия Гельдера и главное значение интеграла Значения интеграла Коши Формула среднего значения (Гаусса) Принцип максимума модуля аналитической функции

Лекция 6. Принцип максимума и минимума модуля.
Принцип максимума модуля аналитической функции Принцип минимума модуля аналитической функции Геометрическая интерпретация Интеграл типа Коши Дифференцирование по параметру под знаком интегралов типа Коши Замечание и теорема Теорема про n-ю производную интеграла типа Коши Основная теорема Теорема Мореры и замечания Теорема Лиувилля Целая функция

Лекция 7. Аналитические функции и криволинейные интегралы.
Интегралы, зависящие от параметра Замечание Теорема Сходящиеся числовые ряды и сумма ряда Необходимый и достаточный признак сходимости Остаток ряда Необходимый и достаточный признак сходимости в другой форме Абсолютно сходящийся ряд и критерий абсолютной сходимости Признак Даламбера в предельной форме Признак Коши в предельной форме Функциональная последовательность и ряд Сходящийся функциональный ряд и сумма ряда Необходимый и достаточный признак сходимости Равномерная сходимость Необходимый и достаточный признак равномерной сходимости Достаточный признак равномерной сходимости (мажорантный признак Вейерштрасса) Свойства равномерно сходящихся рядов Первая теорема Вейерштрасса Замечание 1 Замечание 2

Лекция 8. Сходимость.
Замечание к первой теореме Вейерштрасса Вторая теорема Вейерштрасса Степенные ряды Теорема Абеля Следствия теоремы Абеля Радиус сходимости Формула Коши-Адамара Равномерная сходимость ряда к своей сумме в круге Связь коэффициентов ряда со значениями функций суммы и их производными Связь коэффициентов ряда со значениями функций суммы и их производными Теорема Тейлора Замечания Теоретическая задача

Лекция 9. Нули аналитической функции. Аналитическое продолжение.
Правильные и особые точки функции Нули аналитической функции Теорема о нулях аналитической функции Следствия Число нулей целой функции Теорема единственности определённой аналитической функции Следствие теоремы единственности Замечание Аналитическое продолжение через общую подобласть двух областей Теорема о наличии особой точки на границе круга сходимости степенного ряда Следствие теоремы единственности Степенной ряд, который не продолжается за круг сходимости Продолжение степенного ряда за круг сходимости

Лекция 10. Аналитическое продолжение.
Теорема Принсгейма Теорема Фабри Теорема Элементарные функции комплексной переменной Теорема об аналитическом продолжении с вещественной оси Теорема Точки ветвления Римановы поверхности Ряды Лорана Следствия теоремы Абеля Теорема

Лекция 11. Особые точки.
Теорема Изолированные особые точки однозначной аналитической функции Пример неизолированной особой точки Устранимая особая точка Теорема об устранимой особой точке Теорема о полюсе Существенно особая точка Пример существенно особой точки Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Замечание Классификация изолированных особых точек на языке пределов Бесконечно удалённая особая точка Ряд Лорана в окрестности бесконечно удалённой точки

Лекция 12. Вычеты.
Понятие вычета аналитической функции в изолированной особой точке Основная теорема теории вычетов Вычет в устранимой особой точке Вычет в полюсе m-го порядка Вычет в существенно особой точке Вычет в бесконечно удалённой точке Теорема о сумме вычетов Вычисление несобственных интегралов 1-го рода от функции действительной переменной с помощью вычетов Лемма Замечания Теорема Замечания

Лекция 13. Лемма Жордана.
Лемма Жордана Замечания Теорема, основанная на лемме Жордана Замечание для бесконечного числа изолированных ОТ Мероморфная функция Некоторые интегралы Логарифмический вычет Теорема о полном числе нулей Следствие - принцип аргумента и геометрическая интерпретация Теорема Руше Основная теорема высшей алгебры

Лекция 14. Конформные отображения.

Лекция 15. Оператор Лапласа и интеграл Пуассона.

Лекция 16. Изображения.