Вторая часть курса математического анализа

Список всех тем лекций

Лекция 1. Интегральная сумма. Определенный интеграл Римана. Суммы Дарбу.
Введение Разбиение отрезка Геометрический смысл Определенный интеграл Римана Необходимое условие интегрируемости функции Суммы Дарбу и их свойства

Лекция 2. Свойства сумм Дарбу. Критерии интегрируемости. Интегрируемость непрерывных функций.
Свойства сумм Дарбу (продолжение) Основная лемма Дарбу Критерии интегрируемости функции Интегрируемость непрерывных функций

Лекция 3. Классы интегрируемых функций. Основные свойства определенного интеграла.
Интегрируемость монотонных функций Теорема Лебега Элементарные свойства определенного интеграла Римана

Лекция 4. Теоремы о среднем значении для определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом.
Элементарные свойства определенного интеграла Римана (продолжение) Функции Дирихле и Римана Две теоремы о среднем для определенного интеграла Римана Формула Ньютона-Лейбница

Лекция 5. Замена переменной и интегрирование по частям. Несобственные интегралы первого рода.
Примеры Замена переменной и интегрирование по частям Интеграл Дирихле Признаки сравнения

Лекция 6. Признак Дирихле. Абсолютная и условная сходимость. Несобственные интегралы второго рода.
Интегралы Френеля и Эйлера-Пуассона Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов первого рода Замена переменной и интегрирование по частям в несобственном интеграле Несобственные интегралы второго рода

Лекция 7. Главное значение несобственного интеграла. Спрямляемые кривые и их длина.
Главное значение (по Коши) несобственного интеграла Плоские кривые Ломаная Свойства Вычисление длины дуги кривой

Лекция 8. Квадрируемые плоские фигуры и их площади.
Примеры Многоугольные фигуры и их площадь Примеры Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора

Лекция 9. Кубируемые пространственные тела и их объемы.
Примеры вычисления площадей Многогранное тело Критерий кубируемости Достаточное условие кубируемости прямого цилиндра Примеры Вычисление некоторых физических величин с помощью определенного интеграла

Лекция 10. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Методы хорд и касательных решения уравнений.
Геометрическая идея приближенных методов Формулы приближенных методов и оценки погрешностей Вывод оценки погрешности для метода прямоугольников Приближенные методы хорд и касательных решения уравнений вида f(x)=0

Лекция 11. Пространство R^n.
Погрешность методов хорд и касательных приближенного решения уравнения f(x)=0 Пространство R^n Линейно связное множество Критерий Коши Теорема Больцано-Вейерштрасса

Лекция 12. Функции многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных.
Предел функции многих переменных Арифметические операции над функциями, имеющими конечные пределы Бесконечно малые функции нескольких переменных Точки разрыва

Лекция 13. Локальные и глобальные свойства непрерывной функции нескольких переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных.
Лемма о повторном пределе Связь непрерывности функции по совокупности переменных с непрерывностью функции по переменной Непрерывность сложной функции Теорема о промежуточном значении Теорема Кантора Частная производная

Лекция 14. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Дифференциал и частные производные сложной функции.
Примеры вычисления частных производных Геометрический смысл понятия дифференцируемости функции Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных Дифференциал и частные производные сложной функции

Лекция 15. Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных. Градиент и производная по направлению. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных Формулы вычисления дифференциалов некоторых функций Градиент функции и производная по направлению Геометрический смысл и свойства градиента Две теоремы о равенстве смешанных частных производных

Лекция 16. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
Теоремы о равенстве смешанных частных производных Дифференциалы высших порядков Формула Тейлора для функции нескольких переменных Необходимое условие существования локального экстремума

Лекция 17. Квадратичные формы и их свойства. Достаточные условия существования локального экстремума функции нескольких переменных.
Критерий Сильвестра Достаточные условия существования локального экстремума Частный случай: функции двух переменных

Лекция 18. Неявные функции. Система неявных функций.
Теорема о существовании, непрерывности и дифференцируемости неявной функции Существование и непрерывность Дифференцируемость Система неявных функций

Лекция 19. Условный локальный экстремум функции нескольких переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
Гладкая зависимость и независимость функций Достаточные условия гладкой независимости функций Условный локальный экстремум функции нескольких переменных Необходимые условия существования условного локального экстремума Необходимые условия по методу Лагранжа

Лекция 20. Достаточные условия существования условного локального экстремума. Числовые ряды. Ряды с положительными членами.
Достаточные условия для отыскания условного локального экстремума по методу Лагранжа Пример отыскания условного локального экстремума Необходимое условие сходимости ряда Ряды с положительными членами Признаки сравнения рядов Признак Даламбера сходимости ряда

Лекция 21. Признаки сходимости рядов с положительными членами.
Признак Коши (радикальный) сходимости рядов Сравнение признаков Даламбера и Коши Ряд Дирихле Признак Раабе

Лекция 22. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость, теоремы Римана и Коши. Признак Дирихле-Абеля сходимости знакопеременных рядов.
Признак Гаусса Абсолютная и условная сходимость Теорема Римана о перестановке членов условно сходящихся рядов Теорема Коши о перестановке членов абсолютно сходящихся рядов Признак Лейбница

Лекция 23. Арифметические операции над сходящимися рядами. Бесконечные произведения и двойные ряды.
Пример (признак Дирихле-Абеля) Арифметические операции над сходящимися рядами Связь с числовыми рядами Двойные ряды Методы Чезаре и Пуассона-Абеля суммирования расходящихся рядов