Курс «Линейная алгебра» читается студентам первого курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова во 2 семестре.

Список всех тем лекций

Семинар 1. Основные понятия линейной алгебры.
Числовое поле Линейное пространство Аксиомы для операций сложения и умножения Важные следствия из аксиом Пример Важные определения Задача (определение размерности, базиса) Линейное подпространство Линейная оболочка Задача (нахождение базиса линейной оболочки) Изоморфизм Лемма Определения суммы линейного пространства, пересечения линейного пространства Задача (найти размерность и базис суммы и пересечения линейных пространств) Теорема (связь между размерностью суммы и пересечения) (применение теоремы) (применение теоремы) (найти размерность и базис суммы и пересечения) (найти размерность и базис суммы и пересечения) Линейно независимые пространства (прямая сумма)

Семинар 2. Система линейных алгебраических уравнений.
Однородные системы линейных уравнений Фундаментальная совокупность решений Алгоритм нахождения нормальной фундаментальной совокупности решений Задача (построить нормальную фундаментальную совокупность решений) Неоднородные системы линейных алгебраических уравнений

Семинар 3. Составление системы уравнений по заданной фундаментальной совокупности решений (ФСР). Преобразование базиса по координатам.
(составить систему уравнений по заданной ФСР (фундаментальной совокупности решений)) Преобразование базиса Преобразование координат (найти матрицу перехода) (найти координаты вектора)

Семинар 4. Линейные операторы.
Определение линейного оператора Матрица линейного оператора Закон преобразования оператора Задача (составить матрицу оператора (ЛАВЗ, глава V №3)) (найти матрицу оператора дифференцирования) Задача (ЛАВЗ, глава V №5) (трёхмерный случай) Ядро и образ линейного оператора (найти ядро и образ линейного оператора) Инвариантное подпространство (найти собственные значения и собственные векторы) (найти собственные значения и собственные векторы) Алгебраическая кратность; геометрическая кратность (определения) (найти собственные значения и собственные векторы) (найти собственные значения и собственные векторы)

Семинар 5. Билинейные формы.
Определение билинейной формы Матрица билинейной формы Получение билинейной формы в линейном пространстве Закон преобразования билинейной формы Симметричная билинейная форма, кососимметричная билинейная форма Квадратичная форма, полярная к билинейной форме Теорема

Семинар 6. Евклидово пространство.
Положительно определённая билинейная форма (определение) Евклидово пространство (определение) Свойства скалярного произведения Норма вектора из евклидова пространства Задача (ЛАВЗ, глава IV №3) Полуторалинейная форма Эрмитова форма (определение) Положительно определённая полуторалинейная форма (определение) Унитарное линейное пространство (определение) Задача (ЛАВЗ, глава IV №10)

Семинар 7. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональное дополнение.
Вывод неравенства Ортогональные элементы евклидова пространства Базис ортонормированный Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта Задача (ЛАВЗ, глава IV №12) Задача Разложение произвольного вектора по ортонормированному базису Взаимный базис Связь между базисом и взаимным базисом Задача (получить разложение вектора по базису) Определение ортогонального дополнения Задача (построить ортогональное дополнение) Ортогональная проекция

Семинар 8. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах.
Ортогональный проектор Сопряжённый оператор Задача (теорема Фредгольма) Задача Самосопряжённый оператор Эрмитов оператор Задача (построение ортонормированного базиса) Ортогональный оператор Унитарный оператор Матрица унитарного оператора Свойства ортогональных матриц Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования Задача Задача о приведении двух квадратичных форм к каноническому виду одним невырожденным преобразованием Задача Спектральное разложение самосопряженного оператора Задача (построить спектральное разложение самосопряжённого оператора)

Семинар 9. Тензоры. Операции над тензорами.
Формулы преобразования Правила тензорной записи Определение (р раз ковариантный и q раз контрвариантный тензор) Примеры (сборник Беклемешева) Сложение тензоров Умножение тензоров (сборник Беклемешева) Прямое произведение тензоров Задача (ЛАВЗ, глава VII №1) (сборник Беклемешева) (сборник Беклемешева) Свёртка Задача (ЛАВЗ, глава VII №5) (сборник Беклемешева) Свёртка произведения тензоров

Семинар 10. Знакомство с теорией групп.
Методичка по курсу Определения Примеры групп Определение подгруппы Гомоморфизм групп Группы преобразований Движения Представление групп Преобразования Галилея и преобразования Лоренца Псевдоскалярное произведение Частный случай преобразования Лоренца