В курсе излагаются основания гомотопической топологии и связанные с ними конструкции дифференциальной геометрии. Вводятся понятия клеточных пространств, гомотопии и гомотопической эквивалентности, накрытия, векторного расслоения, аффинной связности. Строятся гомотопические инварианты такие, как фундаментальная группа, когомологии де Рама и степень отображения

Список всех тем лекций

Лекция 1. Основные понятия общей топологии.
Определение топологического пространства Дискретная и антидискретная топологии Определение непрерывного отображения Стандартная топология на вещественной прямой Эквивалентность двух определений непрерывной функции на вещественной прямой Определение гомеоморфизма Индуцированная топология Определение замкнутого множества и предельной точки Связные, компактные и хаусдорфовы пространства Теорема о гомеоморфизме Определение фактортопологии

Лекция 2. Основные топологические конструкции.
Фактор-топология и примеры факторпространств Действие группы на пространстве Примеры действий группы Пространство орбит действия группы База топологии и произведение топологических пространств Окружность как топологическое пространство Свойства топологии произведения Топология бесконечного произведения

Лекция 3. Топология на декартовом произведении и на пространстве отображений.
Топология на декартовом произведении Декартов квадрат Кодекартов квадрат Топология на пространстве отображений

Лекция 4. Операции над топологическими пространствами.
Цилиндр, конус и надстройка над топологическим пространством Конус и надстройка над сферой Джойн топологических пространств Пространства с отмеченными точками Пространства путей и петель

Лекция 5. Гомотопия и гомотопическая эквивалентность.
Гомотопные отображения Гомотопическая эквивалентность Клеточные пространства Приклеивание клетки Клеточные подпространства

Лекция 6. Клеточные пространства.
Клеточные пространства Факторпространства и произведения клеточных пространств Примеры клеточных пространств

Лекция 7. Примеры клеточных пространств.
Вещественное проективное пространство Линейное пространство финитных последовательностей Бесконечномерная сфера Бесконечномерное проективное пространство Комплексное проективное пространство Классические двумерные поверхности

Лекция 8. Свойство продолжения гомотопии.
Ретракция и деформационная ретракция Свойство продолжения гомотопии Свойство продолжения гомотопии для клеточной пары

Лекция 9. Свойство продолжения гомотопии (продолжение).
Пример из предыдущей лекции Теорема о свойстве продолжения гомотопии для клеточной пары Теорема о факторпространстве по стягиваемому подпространству

Лекция 10. Теорема о клеточной аппроксимации.
Клеточные отображения Теорема о клеточной аппроксимации Лемма о свободной точке

Лекция 11. Фундаментальная группа.
Операция произведения петель Свойства произведения петель Определение фундаментальной группы Индуцированное отображение фундаментальных групп

Лекция 12. Свойства фундаментальной группы. Фундаментальная группа окружности.
Напоминание определений из предыдущей лекции Фундаментальная группа линейно связного пространства Гомотопическая инвариантность фундаментальной группы Фундаментальная группа окружности

Лекция 13. Приложения фундаментальной группы.
Напоминание предыдущей лекции "Теорема о барабане" Теорема Брауэра о неподвижной точке Основная теорема алгебры Инвариантность размерности Гомотопическая эквивалентность тора без точки и букета двух окружностей Свободное произведение групп

Лекция 14. Свободное произведение групп. Свободные группы.
Ассоциативность свободного произведения групп Свойства свободного произведения Свободная группа Задание группы образующими и соотношениями Теорема Ван Кампена

Лекция 15. Теорема Ван Кампена.
Формулировка теоремы Ван Кампена Доказательство теоремы Следствия из теоремы

Лекция 16. Фундаментальная группа клеточных пространств. Накрытия.
Фундаментальная группа клеточного пространства Гомотопическая классификация двумерных поверхностей Фундаментальная группа проективной плоскости и бутылки Клейна Определение накрытия Примеры накрытий Свойство поднятия гомотопии Свойство поднятия путей

Лекция 17. Накрытия.
Свойство поднятия гомотопии для накрытия Связь накрытий и фундаментальной группы Индекс фундаментальной группы накрытия Теорема о поднятии отображения Накрытия и подгруппы фундаментальной группы

Лекция 18. Универсальные накрытия. Графы.
Теорема о существовании односвязного накрытия Свойство универсальности Классификация накрытий Графы и свободные группы Теорема Нильсена-Шрайера

Лекция 19. Дифференциальные формы.
Топологические и гладкие многообразия Тензорные поля Касательные векторы Дифференциальные 1-формы Дифференциальные формы Оператор внешнего дифференцирования

Лекция 20. Когомологии де Рама.
Внешний дифференциал Свойства внешнего дифференциала Когомологии (определение, примеры) Предложение Дифференциальные формы и когомологии как функторы

Лекция 21. Цепные и коцепные комплексы. Гомологии и когомологии.
Основные понятия Предложение Коцепно гомотопные отображения Точная последовательность Гомотопическая инвариантность когомологии Теорема

Лекция 22. Гомотопическая инвариантность когомологий. Лемма Пуанкаре.
Гомотопическая инвариантность Лемма Пуанкаре Гладкая гомотопия Точная последовательность Майера-Виеториса Разбиение единицы Ответы на вопросы студентов

Лекция 23. Точная последовательность Майера-Виеториса.
Построение точной последовательности Теорема Когомологии сфер