Теория групп и алгебр Ли – красивая классическая теория, имеющая множество приложений, особенно в современных физических теориях. В курсе будут изложены основы теории групп и алгебр Ли над полями R и C.

Концепция группы Ли сочетает две фундаментальные идеи математики и естествознания – непрерывности и симметрии. Теория групп Ли основана на взаимодействии глобального подхода с инфинитезимальным, который сводит многие вопросы к изучению линейных структур – алгебр Ли. Систематическому развитию теории Ли посвящен данный курс.

Страница курса: https://fmmp.math.msu.ru/cours...

Страница курса: http://halgebra.math.msu.su/wi...

Список всех тем лекций

Лекция 1. Определение группы Ли, основные примеры, конструкции.
Группы Группы Ли (определение) Примеры групп Ли Подгруппы Ли Дифференциал функции Утверждение Подмногообразия

Лекция 2. Связность.
Связность (определение) Теорема Пример Группа компонент Дифференциальное исчисление на многообразии Дифференциальное уравнение на многообразии

Лекция 3. Производная Ли. Коммутатор векторных полей.
Производная Ли Коммутатор векторных полей Свойства операции коммутирования векторных полей Правоинвариантное векторное поле Вычисление Пример Соглашение об обозначениях

Лекция 4. Фазовые потоки правоинвариантных векторных полей на группе Ли. Экспоненциальное отображение.
Лемма 1 Свойства гладкой кривой (применение фазового потока к e) Экспоненциальное отображение Основные свойства экспоненциального отображения Предложение 1

Лекция 5. Гомоморфизм групп Ли.
Гомоморфизм групп Ли Предложение 1 Функтор Ли Теорема 1 Теорема 2 Примеры Предложение 2 Линейное представление групп Ли Теорема 3

Лекция 6. Связь между представлениями групп Ли и алгебр Ли.
Теорема Следствие из формулы присоединенного представления Связь между представлениями групп Ли и алгебр Ли Операции над линейными представлениями групп Ли и алгебр Ли

Лекция 7. Действия групп Ли на многообразиях.
Действия групп Ли на многообразиях (определение) Примеры Теорема 1 Теорема 2 Следствие из теоремы

Лекция 8. Однородные многообразия.
Предложение 1 Представление изотропии Однородные многообразия

Лекция 9. Доказательство теоремы об однородных многообразиях.
Доказательство теоремы об однородных многообразиях Теорема

Лекция 10. Теорема о нормальных подгруппах Ли. Фундаментальные группы.

Лекция 11. Классификация связных коммутативных групп Ли. Часть 1.

Лекция 12. Классификация связных коммутативных групп Ли. Часть 2.

Лекция 13. Структура групп и алгебр Ли.

Лекция 14. Связные разрешимые группы Ли.

Лекция 15. Полупростые алгебры Ли и группы Ли.

Лекция 16. Свойства полупростых алгебр Ли и их линейных представлений.